Question

【題目】已知二次函數(shù)（，為常數(shù)）.

（1）當(dāng)，時(shí)，求二次函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，若在函數(shù)值的情況下，只有一個(gè)自變量的值與其對(duì)應(yīng)，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；

（3）當(dāng)時(shí)，若在自變量的值滿(mǎn)足≤≤的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的最小值為21，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式.

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)取得最小值-4；（2）或；

（3）或．

【解析】

（1）當(dāng)b=2，c=-3時(shí)，二次函數(shù)的解析式為，把這個(gè)解析式化為頂點(diǎn)式利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求最小值．

（2）當(dāng)c=5時(shí)，二次函數(shù)的解析式為,又因函數(shù)值y=1的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，說(shuō)明方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用即可解得b值，從而求得函數(shù)解析式．

（3）當(dāng)c=b2時(shí)，二次函數(shù)的解析式為，它的圖象是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)．分三種情況進(jìn)行討論，①對(duì)稱(chēng)軸位于b≤x≤b+3范圍的左側(cè)時(shí)，即＜b；②對(duì)稱(chēng)軸位于b≤x≤b+3這個(gè)范圍時(shí)，即b≤≤b+3；③對(duì)稱(chēng)軸位于b≤x≤b+3范圍的右側(cè)時(shí)，即＞b+3，根據(jù)列出的不等式求得b的取值范圍，再根據(jù)x的取值范圍b≤x≤b+3、函數(shù)的增減性及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21可列方程求b的值（不合題意的舍去），求得b的值代入也就求得了函數(shù)的表達(dá)式．

解：（1）當(dāng)b=2，c=-3時(shí)，二次函數(shù)的解析式為，即．

∴當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)取得最小值-4．

（2）當(dāng)c=5時(shí)，二次函數(shù)的解析式為．

由題意得，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

有，解得，

∴此時(shí)二次函數(shù)的解析式為或．

（3）當(dāng)c=b2時(shí)，二次函數(shù)的解析式為．

它的圖象是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)．

①若＜b時(shí)，即b＞0，

在自變量x的值滿(mǎn)足b≤x≤b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大，

故當(dāng)x=b時(shí)，為最小值．

∴，解得，（舍去）．

②若b≤≤b+3，即-2≤b≤0，

當(dāng)x=時(shí)，為最小值．

∴，解得（舍去），（舍去）．

③若＞b+3，即b＜-2，

在自變量x的值滿(mǎn)足b≤x≤b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，

故當(dāng)x=b+3時(shí)，為最小值．

∴，即

解得（舍去），．

綜上所述，或b=-4．

∴此時(shí)二次函數(shù)的解析式為或．