Question

【題目】已知二次函數y＝﹣x2+x+4圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）如圖1，點P是直線BC上方的拋物線上一動點，過點P作PD⊥x軸交BC于點E，交x軸于點D．點M為線段OC上一動點，過點M作MN∥x軸交拋物線的對稱軸于點N，當四邊形BOCP面積最大時，求EN+MN+CM的最小值．

（2）在（1）的條件下，將△AMN在直線CN上平移，點M的對應點為點M'，是否存在點M'使得△MOM'成為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M'的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）EN+MN+CM的最小值＝；（2）點M′的坐標為（﹣，﹣）或（，）或（，）或（，﹣）．

【解析】

（1）當四邊形BOCP面積最大時，只需要△BCP的面積S最大，此時點E（，2）；過點E′作E′H⊥CH于點H，交y軸于點M，過點M作MN⊥拋物線對稱軸交于點N，則點M、N為所求，即可求解；

（2）分MM′＝OM、MM′＝OM′、OM′＝OM三種情況，分別求解即可．

（1）二次函數y＝﹣x2+x+4圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，

則點A、B、C的坐標分別為：（﹣，0）、（3，0）、（0，4）；

（1）當四邊形BOCP面積最大時，只需要△BCP的面積S最大，

由點B、C的坐標得直線BC的表達式為：y＝﹣x+4，

設點P（x，﹣x2+x+4），則點E（x，﹣x+4），

S＝×PE×OB＝（﹣x2+x+4+x﹣4）＝（﹣x2+3x），

當x＝時，S最大，此時點E（，2）；

過點C作∠CMH＝α，使sinα＝，

拋物線的對稱軸為：x＝，則MN＝，

將點E向左平移MN的長度個單位，得到點E′（，2），

過點E′作E′H⊥CH于點H，交y軸于點M，過點M作MN⊥拋物線對稱軸交于點N，則點M、N為所求，

連接EN，∵EE′＝MN，EE′∥MN，

∴EE′MN為平行四邊形，則EN＝E′M，

EN+MN+CM的最小值＝E′M+HM+MN＝E′M+HM+，

直線HE′表達式中的k為﹣，點E′（，2），

則直線HE′的表達式為：y＝﹣x+，

故點M（0，），點N（，）；

EN+MN+CM的最小值＝E′M+HM+＝+×（4﹣）+＝；

（2）點M（0，），點N（，）、點C（0，4），

則直線CN表達式中的k為﹣，設點M向下平移4m個單位，則向右平移3m個單位，

故點M′（3m，﹣4m），

則MM′2＝（3m）2+（4m）2＝25m2；OM2＝（）2；OM′2＝（3m）2+（﹣4m）2；

①當MM′＝OM時，25m2＝（）2，解得：m＝；

②當MM′＝OM′時，同理可得：m＝,∴M′（，）；

③當OM′＝OM時，同理可得：m＝，∴M′（，﹣）；

綜上，點M′的坐標為：（﹣，﹣）或（，）或（，）或（，﹣）．