Question

已知拋物線C₁：y=x²-2x的圖象如圖所示，把C₁的圖象沿y軸翻折，得到拋物線C₂的圖象，拋物線C₁與拋物線C₂的圖象合稱圖象C₃．
（1）求拋物線C₁的頂點A坐標，并畫出拋物線C₂的圖象；
（2）若直線y=kx+b與拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）有且只有一個交點時，稱直線與拋物線相切．若直線y=x+b與拋物線C₁相切，求b的值；
（3）結合圖象回答，當直線y=x+b與圖象C₃有兩個交點時，b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用配方法將C₁化為頂點坐標式，即可得到它的頂點坐標；由于C₂、C₁關于y軸對稱，那么C₂、C₁的開口方向和開口大小都相同，而它們的頂點坐標也關于y軸對稱，可據(jù)此畫出C₂的圖象．
（2）聯(lián)立直線y=x+b和拋物線C₁的解析式，消去y后可得到關于x的一元二次方程，若兩函數(shù)圖象只有一個交點，那么方程的判別式△=0，由此求得b的值①．
（3）可參照（2）的解法求出當直線y=x+b與C₂相切時b的值②，若此直線與C₃有兩個交點，那么b的取值范圍必在①②的范圍之內(nèi)，由此得解．

解答：解：（1）∵拋物線C₁：y=x²-2x=（x-1）²-1；
∴頂點坐標A（1，-1）．（1分）
圖如右圖；（2分）

（2）

y=x+b(1) y=x2-2x(2)

把（1）式代入（2）
整理得：x²-3x-b=0；
△=9+4b=0，b=-

9

4

．（4分）

（3）∵C₁的圖象沿y軸翻折，得到拋物線C₂的圖象，
∴由題意可得出：拋物線C₂：y=x²+2x，
∴

y=x+b(1) y=x2+2x(2)

把（1）式代入（2）
整理得：x²+x-b=0；
△=1+4b=0，b=-

1

4

．（6分）
∴當直線y=x+b與圖象C₃有兩個交點時，b的取值范圍為：-

9

4

＜b＜-

1

4

．（7分）

點評：此題主要考查函數(shù)圖象的幾何變換、函數(shù)圖象交點坐標的求法、根的判別式等知識，難度適中．