【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,E是BD上的一點,∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,點G是BC、AE延長線的交點,AG與CD相交于點F.
(1)求證:四邊形ABCD是正方形;
(2)當(dāng)AE=2EF時,判斷FG與EF有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)證明:∵∠CED是△BCE的外角,∠AED是△ABE的外角,
∴∠CED=∠CBE+∠BCE,∠AED=∠BAE+∠ABE,
∵∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,
∴∠CBE=∠ABE,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°,AB=CD,
∴∠CBE=∠ABE=45°,
∴△ABD與△BCD是等腰直角三角形,
∴AB=AD=BC=CD,
∴四邊形ABCD是正方形
(2)解:當(dāng)AE=2EF時,F(xiàn)G=3EF.
證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴△ABE∽△FDE,△ADE∽△GBE,
∵AE=2EF,
∴BE:DE=AE:EF=2,
∴BG:AD=BE:DE=2,
即BG=2AD,
∵BC=AD,
∴CG=AD,
∵△ADF∽△GCF,
∴FG:AF=CG:AD,
即FG=AF=AE+EF=3EF
【解析】(1)由∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,利用三角形外角的性質(zhì),即可得∠CBE=∠ABE,又由四邊形ABCD是矩形,即可證得△ABD與△BCD是等腰直角三角形,繼而證得四邊形ABCD是正方形;(2)由題意易證得△ABE∽△FDE,△ADE∽△GBE,△ADF∽△GCF,由AE=2EF,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得FG=3EF.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等,以及對正方形的判定方法的理解,了解先判定一個四邊形是矩形,再判定出有一組鄰邊相等;先判定一個四邊形是菱形,再判定出有一個角是直角.
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【題目】根據(jù)不等式的基本性質(zhì),把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式:
(1)4x>3x+5 (2)-2x<17
(3)0.3x<-0.9 (4)x<x-4
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【題目】某市為創(chuàng)建省衛(wèi)生城市,有關(guān)部門決定利用現(xiàn)有的4200盆甲種花卉和3090盆乙種花卉,搭配A、B兩種園藝造型共60個,擺放于入城大道的兩側(cè),搭配每個造型所需花卉數(shù)量的情況下表所示,結(jié)合上述信息,解答下列問題:
造型花卉 | 甲 | 乙 |
A | 80 | 40 |
B | 50 | 70 |
(1)符合題意的搭配方案有幾種?
(2)如果搭配一個A種造型的成本為1000元,搭配一個B種造型的成本為1500元,試說明選用那種方案成本最低?最低成本為多少元?
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【題目】探索規(guī)律:觀察下面由※組成的圖案和算式,解答問題:
1+3=22=4
1+3+5=32=9
1+3+5+7=42=16
1+3+5+7+9=52=25
(1)猜想1+3+5+7+9+…+29= = ;
(2)猜想1+3+5+7+9+…+(2n﹣1)+(2n+1)= = ;
(3)用上述規(guī)律計算:41+43+45+…+77+79.
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【題目】某商廈進(jìn)貨員在蘇州發(fā)現(xiàn)了一種應(yīng)季圍巾,用8000元購進(jìn)一批圍巾后,發(fā)現(xiàn)市場還有較大的需求,又在上海用17600元購進(jìn)了同一種圍巾,數(shù)量恰好是在蘇州所購數(shù)量的2倍,但每條比在蘇州購進(jìn)的多了4元.問某商廈在蘇州、上海分別購買了多少條圍巾?
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【題目】如圖,AD是△ABC的邊BC上的高,由下列條件中的某一個就能推出△ABC是等腰三角形的是__.
①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.
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【題目】按要求解答下列各題:
(1)解不等式:3x-5<2(2+3x);
(2)解不等式:2x-3≤ (x+2);
(3)解不等式: <x-1,并將解集在數(shù)軸上表示出來.
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【題目】如圖,已知線段AB。
(1)用尺規(guī)作圖的方法作出線段AB的垂直平分線l(保留作圖痕跡,不要求寫出作法);
(2)在(1)中所作的直線l上任意取兩點M、N(線段AB的上方),連接AM、AN。BM、BN。
求證:∠MAN=∠MBN。
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