Question

19．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在射線BC上（與B、C兩點(diǎn)不重合），以AD為邊作正方形ADEF，使點(diǎn)E與點(diǎn)B在直線AD的異側(cè)，射線BA與射線CF相交于點(diǎn)G．
（1）若點(diǎn)D在線段BC上，如圖1．
①依題意補(bǔ)全圖1；
②判斷BC與CG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明；
（2）若點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且G為CF中點(diǎn)，連接GE，AB=$\sqrt{2}$，則GE的長為$\sqrt{10}$，并簡述求GE長的思路．

Answer 1

分析 （1）①依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示，②判斷出△BAD≌△CAF即可；
（2）先判斷出△BAD≌△CAF，得到BD=CF，BG⊥CF，得到直角三角形，利用勾股定理計(jì)算即可．

解答 （1）證明：①依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示，

②BC⊥CG，BC=CG；
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BC⊥CG；
∵點(diǎn)G是BA延長線上的點(diǎn)，
BC=CG
（2）如圖2，

∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD-∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF-∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，BD=CF，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BC⊥CF；
∵AB=$\sqrt{2}$，BC=CD=CG=GF=2，
∴在Rt△AGH中，根據(jù)勾股定理得，AG=$\sqrt{2}$，
∴在Rt△AGH中，根據(jù)勾股定理的，DG=2$\sqrt{2}$，
∵AD=$\sqrt{10}$，
∴AH=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，HG=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴GI=AD-HG=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴GE=$\sqrt{G{I}^{2}+I{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$
故答案為$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直的判斷方法，解本題的關(guān)鍵是判斷出角相等．