【題目】如圖,拋物線yax2+bx2x軸交于兩點(diǎn)A(﹣1,0)和B4,0),與Y軸交于點(diǎn)C,連接ACBC、AB

1)求拋物線的解析式;

2)點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn),連接BD、CD,滿足,求點(diǎn)D的坐標(biāo);

3)點(diǎn)E在線段AB上(與AB不重合),點(diǎn)F在線段BC上(與BC不重合),是否存在以C、EF為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,若存在,請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2D的坐標(biāo)為,,(1,﹣3)或(3,﹣2).(3)存在,F的坐標(biāo)為,(2,﹣1)或

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式;

(2)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)A,B的坐標(biāo)可得出AB,AC,BC的長度,由AC2+BC2=25=AB2可得出∠ACB=90°,過點(diǎn)D作DM∥BC,交x軸于點(diǎn)M,這樣的M有兩個,分別記為M1,M2,由D1M1∥BC可得出△AD1M1∽△ACB,利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合S△DBC ,可得出AM1的長度,進(jìn)而可得出點(diǎn)M1的坐標(biāo),由BM1=BM2可得出點(diǎn)M2的坐標(biāo),由點(diǎn)B,C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式,進(jìn)而可得出直線D1M1,D2M2的解析式,聯(lián)立直線DM和拋物線的解析式成方程組,通過解方程組即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)分點(diǎn)E與點(diǎn)O重合及點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合兩種情況考慮:①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時,過點(diǎn)O作OF1⊥BC于點(diǎn)F1,則△COF1∽△ABC,由點(diǎn)A,C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式,進(jìn)而可得出直線OF1的解析式,聯(lián)立直線OF1和直線BC的解析式成方程組,通過解方程組可求出點(diǎn)F1的坐標(biāo);②當(dāng)點(diǎn)E不和點(diǎn)O重合時,在線段AB上取點(diǎn)E,使得EB=EC,過點(diǎn)E作EF2⊥BC于點(diǎn)F2,過點(diǎn)E作EF3⊥CE,交直線BC于點(diǎn)F3,則△CEF2∽△BAC∽△CF3E.由EC=EB利用等腰三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)F2為線段BC的中點(diǎn),進(jìn)而可得出點(diǎn)F2的坐標(biāo);利用相似三角形的性質(zhì)可求出CF3的長度,設(shè)點(diǎn)F3的坐標(biāo)為(x, x﹣2),結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出關(guān)于x的方程,解之即可得出x的值,將其正值代入點(diǎn)F3的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論.綜上,此題得解.

(1)將A(﹣1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx﹣2,得:

,解得:,

∴拋物線的解析式為y= x2x﹣2.

(2)當(dāng)x=0時,y=x2x﹣2=﹣2,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣2).

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),

∴AC=,BC= =2,AB=5.

∵AC2+BC2=25=AB2,

∴∠ACB=90°.

過點(diǎn)D作DM∥BC,交x軸于點(diǎn)M,這樣的M有兩個,分別記為M1,M2,如圖1所示.

∵D1M1∥BC,

∴△AD1M1∽△ACB.

∵S△DBC

,

∴AM1=2,

∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(1,0),

∴BM1=BM2=3,

∴點(diǎn)M2的坐標(biāo)為(7,0).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c(k≠0),

將B(4,0),C(0,﹣2)代入y=kx+c,得:

,解得:

∴直線BC的解析式為y= x﹣2.

∵D1M1∥BC∥D2M2,點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)M2的坐標(biāo)為(7,0),

∴直線D1M1的解析式為y= x﹣ ,直線D2M2的解析式為y=x﹣

聯(lián)立直線DM和拋物線的解析式成方程組,得:

解得: ,, ,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2﹣ , ),(2+),(1,﹣3)或(3,﹣2).

(3)分兩種情況考慮,如圖2所示.

①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時,過點(diǎn)O作OF1⊥BC于點(diǎn)F1,則△COF1∽△ABC,

設(shè)直線AC的解析設(shè)為y=mx+n(m≠0),

將A(﹣1,0),C(0,﹣2)代入y=mx+n,得:

,解得:

∴直線AC的解析式為y=﹣2x﹣2.

∵AC⊥BC,OF1⊥BC,

∴直線OF1的解析式為y=﹣2x.

連接直線OF1和直線BC的解析式成方程組,得:

解得: ,

∴點(diǎn)F1的坐標(biāo)為( ,﹣ );

②當(dāng)點(diǎn)E不和點(diǎn)O重合時,在線段AB上取點(diǎn)E,使得EB=EC,過點(diǎn)E作EF2⊥BC于點(diǎn)F2,過點(diǎn)E作EF3⊥CE,交直線BC于點(diǎn)F3,則△CEF2∽△BAC∽△CF3E.

∵EC=EB,EF2⊥BC于點(diǎn)F2,

∴點(diǎn)F2為線段BC的中點(diǎn),

∴點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(2,﹣1);

∵BC=2 ,

∴CF2 BC= ,EF2 CF2 ,F(xiàn)2F3 EF2 ,

∴CF3

設(shè)點(diǎn)F3的坐標(biāo)為(x, x﹣2),

∵CF3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣2),

∴x2+[x﹣2﹣(﹣2)]2,

解得:x1=﹣ (舍去),x2,

∴點(diǎn)F3的坐標(biāo)為(,﹣ ).

綜上所述:存在以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,點(diǎn)F的坐標(biāo)為( ,﹣ ),(2,﹣1)或( ,﹣ ).

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(收集數(shù)據(jù))

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區(qū)域

區(qū)域

(整理、描述數(shù)據(jù))

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海豚數(shù)

區(qū)域

_________

_________

區(qū)域

2)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù),眾數(shù)如下所示:

觀測點(diǎn)

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

區(qū)域

區(qū)域

請?zhí)羁眨荷媳碇兄形粩?shù)_______,,眾數(shù)______;

3)規(guī)劃者們選擇了區(qū)域為大橋的必經(jīng)地,為減少施工對白海豚的影響,合理安排施工時間,估計在接下來的天施工期內(nèi),區(qū)域大約有多少天中華白海豚出現(xiàn)的數(shù)目在的范圍內(nèi)?

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