Question

【題目】如圖①所示，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，將長(zhǎng)方形ABCD折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)E處，折痕為FG，如圖②所示：

（1）圖②中，證明：GE=EF；
（2）將圖②折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為PH，如圖③所示，當(dāng)∠FEH=90°時(shí)：
①當(dāng)EF=5，EH=12時(shí)，求長(zhǎng)方形ABCD的面積；
②將圖③中的△PED繞著點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，
如圖④，求證：△GEM≌△FEH．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖2，

由折疊得：∠BFG=∠EFG，

∵EG∥BC，

∴∠EGF=∠BFG

∴∠EFG=∠EGF，

∴EG=EF；

（2）

證明：①如圖3，

∵∠FEH=90°，

∴FH= = =13，

由折疊得：BF=EF=5，CH=EH=12，

∴BC=BF+FH+HC=5+13+12=30，

過(guò)E作EM⊥BC于M，

S△EFH= EFEH= FHEM，

×5×12= ×13×EM，

EM= ，

∴長(zhǎng)方形ABCD的面積=EM×BC= ×30= ；

②

由折疊得：AE=DE，

∠GAE=∠MAE=90°，

∴G、A、M共線(xiàn)，

由（1）得：EG=EF，

同理得：EH=EP，

∵EP=EM，

∴EM=EH，

∵∠AEF=∠FEH=90°，

∴A、E、H共線(xiàn)，

∴∠AEG=∠HEP，

∵∠DEH=90°，

∴∠DEP+∠HEP=90，

∴∠DEP+∠AEG=90°，

由旋轉(zhuǎn)得：∠DEP=∠AEM，

∴∠AEM+∠AEG=90°，

∴∠GEM=∠FEH=90°，

∴△GEM≌△FEH．

【解析】（1）由折疊得：∠BFG=∠EFG，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得：∠EFG=∠EGF，所以EG=EF；（2）①先求BC的長(zhǎng)，再作△EFH的高線(xiàn)EM，并利用面積法求EM= ，根據(jù)面積公式求長(zhǎng)方形ABCD的面積；
②由（1）得：EG=EF，同理EH=EP，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：EM=EH，再證明∠GEM=∠FEH=90°，根據(jù)SAS可證明兩三角形全等．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形；如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)；兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上．