Question

【題目】如圖，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連結(jié)CD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C→B的路徑運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，速度為每秒2cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ADP是直角三角形？
（3）直接寫(xiě)出：當(dāng)t為何值時(shí)，△ADP是等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，AC=BC=10cm，AB=12cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴CD⊥AB，AD=DB= AB=6cm，

∴Rt△ACD中，CD= =8cm

（2）解：分兩種情況：

①如圖所示，當(dāng)DP⊥AC時(shí)，△ADP是直角三角形，

∵∠A=∠A，∠APD=∠ADC=90°，

∴△APD∽△ADC，

∴ = ，即 = ，

解得t=1.8，

②如圖所示，當(dāng)PD⊥AD時(shí)，△ADP是直角三角形，

此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，AP=AC=10，

∴t= =5，

綜上所述，當(dāng)t=1.8或5秒時(shí)，△ADP是直角三角形

（3）解：分三種情況：

①如圖所示，當(dāng)PA=PD時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于E，則AE= AD=3，

∵PE∥CD，

∴△APE∽△ACD，

∴ = ，即 = ，

解得t= ；

②如圖所示，當(dāng)AP=AD時(shí)，2t=6，

∴t= =3；

③如圖所示，當(dāng)AD=PD時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AP于F，則AF= AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，

∴△AFD∽△ADC，

∴ = ，即 = ，

解得t=3.6，

綜上所述，當(dāng)t=2.5或3或3.6秒時(shí)，△ADP是等腰三角形

【解析】（1）根據(jù)AC=BC=10cm，AB=12cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，求得AD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得CD即可；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)DP⊥AC時(shí)，△ADP是直角三角形，當(dāng)PD⊥AD時(shí)，△ADP是直角三角形，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（3）分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)PA=PD時(shí)，當(dāng)AP=AD時(shí)，當(dāng)AD=PD時(shí)，分別作輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得t的值即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．