【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,點D在BC上,且CD=3cm.動點P,Q同時從點C出發(fā),均以1cm/s的速度運動,其中點P沿CA向終點A運動;點Q沿CB向終點B運動.過點P作PE∥BC,分別交AD,AB于點E,F,設(shè)動點Q運動的時間為t秒.
(1)求DQ的長(用含t的代數(shù)式表示);
(2)以點Q,D,F,E為頂點圍成的圖形面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)連接PQ,若點M為PQ中點,在整個運動過程中,直接寫出點M運動的路徑長.
【答案】(1)當(dāng)0≤t≤3時,DQ=3﹣t;當(dāng)3<t≤5時,DQ=t﹣3.
(2);
(3)3.
【解析】
(1)由于CD=3cm,運動速度為1m/s,故進行分類討論,分別為當(dāng)0≤t≤3時,當(dāng)3<t≤5時,分別計算出DQ的長度即可.
(2)根據(jù)梯形面積公式和三角形面積公式,分類進行討論,分別當(dāng)0≤t≤3時和當(dāng)3<t≤4時,四點圍成的是一個梯形,當(dāng)4<t≤5時,E、F點重合,此時圍成的是一個三角形.分別計算,用含t的式子將S表示出來即可.
(3)根據(jù)題意,CB>CA,故M點的運動軌跡分為兩段,一段為P點運行到A點,Q點運行到與CA的長相等的地方可設(shè)為J點,此時M運行的路經(jīng)長為等腰直角△JCA的底邊的垂線CR,第二段,過R點作BC的平行線,與AB交于點T,此時P點已經(jīng)停止在了A點,Q點繼續(xù)由J點向B點運動,此時M點的運行軌跡即為RT的長,分別計算出兩段的長,相加即可.
解:(1)當(dāng)0≤t≤3時,DQ=CD-CQ
∵CD=3,CQ=t,
∴DQ =3﹣t;
當(dāng)3<t≤5時,DQ=CQ-CD
∵CQ =t,CD =3,
∴DQ =t﹣3.
(2)①當(dāng)0≤t≤3時,如圖,
∵PC=t,AC=4,
∴,
,
,
∴.
②當(dāng)3<t≤4時,如圖,
∴.
③當(dāng)4<t≤5時,如圖,
∴.
綜上所述
(3)點M運動的路徑長為2,
如圖,在CB上取一點J,使得CJ=CA,連接AJ,作CR⊥AJ于R,RT∥BC交AB于T.
由題意點M的運動路徑是C→R→T,
∵CA=CJ=4,CR⊥AJ,∠ACJ=90°,
∴AJ=4,AR=RJ,
∴CR=AJ=2,
∵RT∥BJ,AR=RJ,
∴AT=TB,
∴RT=BJ=,
∴點M的運動路徑的長為2.
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【題目】在我市迎接奧運圣火的活動中,某校教學(xué)樓上懸掛著宣傳條幅DC,小麗同學(xué)在點A處,測得條幅頂端D的仰角為30°,再向條幅方向前進10米后,又在點B處測得條幅頂端D的仰角為45°,已知測點A、B和C離地面高度都為1.44米,求條幅頂端D點距離地面的高度.(計算結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):.)
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【題目】在矩形ABCD中,AB=9cm,E是直線CD上一點,連接AC,BE,若AC與BE交于點F且DE=3cm,則EF:BE的值是_____.
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【題目】已知:等腰,,以為直徑的,分別交、于點、點.
(1)如圖1,求證:點為弧的中點;
(2)如圖2,點為直徑上一點,過點作,交過點且垂直于的直線于點,連接,,設(shè),,求與的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點為弧上一點,連接交于點,延長交于點,若,,,求弦的長.
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【題目】如圖1,矩形紙片滿足.將此矩形紙片按下列順序折疊,則圖4中的長為___________________(用含的代數(shù)式表示).
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【題目】△ABC中,∠BAC=α°,AB=AC,D是BC上一點,將AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α°,得到線段AE,連接BE.
(1)(特例感知)如圖1,若α=90,則BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)(類比探究)如圖2,若α=120,試探究BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系,并證明.
(3)(拓展延伸)如圖3,若α=120,AB=AC=4,BD=,Q為BA延長線上的一點,將QD繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段QE,DE⊥BC,求AQ的長.
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【題目】如圖,A,B為反比例函數(shù)y=圖象上的點,AD⊥x軸于點D,直線AB分別交x軸,y軸于點E,C,CO=OE=ED.
(1)求直線AB的函數(shù)解析式;
(2)F為點A關(guān)于原點的對稱點,求△ABF的面積.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,CD⊥AB于點G,E是CD上一點,且BE=DE,延長EB至點P,連接CP,使PC=PE,延長BE與⊙O交于點F,連結(jié)BD,FD.
(1)連結(jié)BC,求證:△BCD≌△DFB;
(2)求證:PC是⊙O的切線;
(3)若tanF=,AG﹣BG=,求ED的值.
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【題目】閱讀下列材料:一般地,個相同的因數(shù)相乘 ,記為.如,此時,叫做以為底的對數(shù),記為(即).一般地,若,(且,),則叫做以為底的對數(shù),記為(即).如,則叫做以為底的對數(shù),記為(即).
(1)計算以下各對數(shù)的值:__________,__________,__________.
(2)觀察(1)中三數(shù)、,之間滿足怎樣的關(guān)系式,、、之間又滿足怎樣的關(guān)系式;
(3)由(2)的結(jié)果,你能歸納出一個一般性的結(jié)論嗎?__________.(且,,)
(4)根據(jù)冪的運算法則:以及對數(shù)的含義證明上述結(jié)論.
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