Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）證明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度數(shù)；
（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)∠ABC=116°時(shí)，則∠EPC= ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，

在△ABP和△CBP中

，

∴△ABP≌△CBP，

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）解：∵△ABP≌△CBP，

∴∠PAB=∠PCB，

∴∠PAD=∠PCD，

∵PA=PE，

∴∠PAE=∠E，

∴∠PCD=∠E，

而∠DFE=∠PFC，

∴∠CPF=∠EDF=90°，

（3）64°
【解析】（3）∵四邊形ABCD為菱形，

∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=58°，∠ADC=∠ABC=116°，

∴∠EDC=64°，

在△ABP和△CBP中

，

∴△ABP≌△CBP，

∴PA=PC，∠PAB=∠PCB，

∴∠PAD=∠PCP，

∵PA=PE，

∴∠PAD=∠PEA，

∴∠PCD=∠PED

而∠DFE=∠PFC，

∴∠CPF=∠EDF=64°．

所以答案是64°．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．