Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)D．

（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，且a=﹣．

①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；

②連結(jié)CD，問：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)E（1，1），點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)，請直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1）①D的坐標(biāo)是（3，1），拋物線的解析式為y=﹣x2+x；②在拋物線上是否存在點(diǎn)P（，）或（，﹣），使得∠POB與∠BCD互余；（2）a的值為a=．

【解析】

試題分析： （1）①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，先通過三角形全等求得D的坐標(biāo)，把D的坐標(biāo)和a=﹣ ，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得拋物線的解析式；②先證得CD∥x軸，進(jìn)而求得要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，﹣ x2+x），分兩種情況討論即可求得；（2）若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)，根據(jù)tan∠QOB=tan∠BAO==，得到直線OQ的解析式為y=﹣x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）=0，即4a2﹣8a+=0，解得a=,根據(jù)實(shí)際情況對a進(jìn)行取值即可．

試題解析：（1）①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐標(biāo)是（3，1），

根據(jù)題意，得a=﹣，c=0，且a×32+b×3+c=1，

∴b=，

∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+x；

②∵點(diǎn)A（0，2），B（1，0），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，

∴C（，1），

∵C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1，

∴CD∥x軸，

∴∠BCD=∠ABO，

∴∠BAO與∠BCD互余，

要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，

設(shè)P的坐標(biāo)為（x，﹣ x2+x），

（Ⅰ）當(dāng)P在x軸的上方時(shí)，過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，

則tan∠POB=tan∠BAO，即=，

∴，解得x1=0（舍去），x2=，

∴﹣x2+x=，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；

（Ⅱ）當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖3

則tan∠POB=tan∠BAO，即=，

∴，解得x1=0（舍去），x2=，

∴﹣x2+x=﹣，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣）；

綜上，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（，）或（，﹣），使得∠POB與∠BCD互余．

（2）如圖3，∵D（3，1），E（1，1），

拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E、D，代入可得 ，解得 ，

所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分兩種情況：

①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向下時(shí)，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)不可能是3個(gè)

②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向上時(shí)，

（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c必有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q必定有2個(gè)；

（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c只有1個(gè)交點(diǎn)，才能使符合條件的點(diǎn)Q共3個(gè)．

根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，

∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此時(shí)直線OQ的解析式為y=﹣x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）=0，即4a2﹣8a+=0，解得a=，

∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸下方

∴＜0，

∴a＞1，

∴a=舍去

綜上所述，a的值為a=．