Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y=ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A（－4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x=5和x=－5時(shí)，這條拋物線(xiàn)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，－2）的直線(xiàn)l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求直線(xiàn)AB和這條拋物線(xiàn)的解析式；

（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線(xiàn)l與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)直線(xiàn)AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1，P（m，n）是拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形CODP的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-1；（2）直線(xiàn)l與⊙A相切，理由見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法等知識(shí)，還涉及到解析幾何中拋物線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，能力要求極高，難度很大.

（1）用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)AB的解析式；根據(jù)“當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線(xiàn)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等”可知：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；

（2）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可求出半徑OA的長(zhǎng)，然后判斷A到直線(xiàn)l的距離與半徑OA的大小關(guān)系即可；

（3）根據(jù)直線(xiàn)AB的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到OD的長(zhǎng)，由于OD的長(zhǎng)為定值，若△POD的周長(zhǎng)最小，那么PD+OP的長(zhǎng)最小，可過(guò)P作y軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)l于M；首先證PO=PM，此時(shí)PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小時(shí).

試題解析：（1）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，則有：

，

解得；

∴直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+1；

由題意知：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，則拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)（-4，3），（2，0），（-2，0）三點(diǎn)；

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x-2）（x+2），

則有：3=a（-4-2）（-4+2），a=；

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2-1；

（2）易知：A（-4，3），則OA==5；

而A到直線(xiàn)l的距離為：3-（-2）=5；

所以⊙A的半徑等于圓心A到直線(xiàn)l的距離，

即直線(xiàn)l與⊙A相切；

（3）過(guò)D點(diǎn)作DM∥y軸交直線(xiàn)于點(diǎn)M交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，

則P（m，n），M（m，-2）；

∴PO2=m2+n2，PM2=（n+2）2；

∵n=m2-1，即m2=4n+4；

∴PO2=n2+4n+4=（n+2）2，

即PO2=PM2，PO=PM；

易知D（-1，），則OD的長(zhǎng)為定值；

若△PDO的周長(zhǎng)最小，則PO+PD的值最�。�

∵PO+PD=PD+PM≥DM，

∴PD+PO的最小值為DM，

即當(dāng)D、P、M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)PD+PM=PO+PD=DM；

此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，代入拋物線(xiàn)的解析式可得y=-1=-，

即P（-1，-）；

∴S四邊形CPDO=（CO+PD）×|xD|=×（2++）×1=.