Question

【題目】定義：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)叫做該三角形的外心．

（1）如圖①，小海同學(xué)在作△ABC的外心時(shí)，只作出兩邊BC，AC的垂直平分線得到交點(diǎn)O，就認(rèn)定點(diǎn)O是△ABC的外心，你覺(jué)得有道理嗎？為什么？

（2）如圖②，在等邊三角形ABC的三邊上，分別取點(diǎn)D，E，F，使AD＝BE＝CF，連接DE，EF，DF，得到△DEF．若點(diǎn)O為△ABC的外心，求證：點(diǎn)O也是△DEF的外心．

Answer 1

【答案】（1）定點(diǎn)O是△ABC的外心有道理，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）連接、、，如圖①，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，則，從而根據(jù)三角形的外心的定義判斷點(diǎn)是的外心；

（2）連接、、、，如圖②，利用等邊三角形的性質(zhì)得到，，再計(jì)算出，接著證明得到，同理可得，所以，然后根據(jù)三角形外心的定義得到點(diǎn)是的外心．

（1）解：定點(diǎn)是的外心有道理．

理由如下：

連接、、，如圖①，

，的垂直平分線得到交點(diǎn)，

，，

，

點(diǎn)是的外心；

（2）證明：連接、、、，如圖②，

點(diǎn)為等邊的外心，

，，

，

，

在和中

，

，

，

同理可得，

，

點(diǎn)是的外心．