Question

18．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點O在AB上，以O為圓心，OA為半徑的⊙O與BC相切于點D，與AC，AB分別交于點E、F，連接AD和DF．求證：
（1）△ADC∽△AFD；
（2）以A，O，D，E為頂點的四邊形是菱形．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理得出∠ADF=90°=∠C，由弦切角定理得出∠CDA=∠AFD，即可得出結論；
（2）連接OD、OE、ED．先證明△AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形．

解答 證明：（1）∵點O在AB上，以O為圓心，OA為半徑的⊙O與BC相切于點D，與AC，AB分別交于點E、F，
∴AF為⊙O的直徑，
∴∠ADF=90°=∠C，
∵⊙O與BC相切于點D，
∴∠CDA=∠AFD，
∴△ADC∽△AFD；
（2）連接OD、OE、ED．如圖所示：
∵BC與⊙O相切于一點D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°=∠C，
∴OD∥AC
∵∠B=30°，
∴∠A=∠DOB=60°，
∴AE∥OD，
∵OA=OE，
∴△AOE是等邊三角形，
∴AE=AO=0D，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∵OA=OD，
∴四邊形AODE是菱形．

點評 本題考查了切線的性質、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、菱形的判定和性質以及相似三角形的判定；熟練掌握圓周角定理和弦切角定理，證明四邊形AODE是平行四邊形是解決問題（2）的關鍵．