Question

如圖，點D、E在AB上，點F在AC上，點G在BC上，四邊形DEFG是正方形，且DE²=BD•AE，△ABC是直角三角形嗎？為什么？

Answer 1

解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DE=GD=EF，
∵DE²=BD•AE，
∴=，
即=，
又∵∠BDG=∠FEA=90°，
∴△AEF∽△GDB，
∴∠A=∠BGD，
在Rt△BGD中，∠B+∠BGD=180°-90°=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．
分析：根據(jù)正方形的四條邊都相等可得DE=GD=EF，然后把乘積式DE²=BD•AE轉(zhuǎn)化為比例式，從而證明△AEF與△GDB相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等得到∠A=∠BGD，再利用角的關(guān)系推出∠A+∠B=90°，所以△ABC是直角三角形．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的四條邊都相等的性質(zhì)，把乘積式轉(zhuǎn)化為比例式，從而證明兩三角形相似是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．