Question

已知△ABD和△BEP均為等腰直角△，∠BAD=∠BEP=90゜，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．
（1）如圖，點(diǎn)P、E分別在AB、BD上，求證：AP=

2

OE；
（2）將圖1中的△BPE繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45゜，問（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的兩直角邊相等，和勾股定理求得BP、OB的值．則易證AP與OE的數(shù)量關(guān)系；
（2）將圖1中的△BPE繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45゜，問（1）中的結(jié)論成立，通過證明△BOA∽△BEP，即可得到問題答案．

解答：（1）證明：∵△ABD為等腰直角三角形，∠BAD=∠BEP=90゜，
∴設(shè)AB=AD=a，則BD=

2

a．
又∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，
∴OB=

1

2

BD=

2

2

a．
同理，設(shè)EP=BE=b，則BP=

2

b．
∴AP=AB-BP=a-

2

b，OE=OB-BE=

2

2

a-b，
則

AP

OE

=

a- 2 b

2 2 a-b

=

2

，
∴AP=

2

OE；

（2）∵△BEP是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BPE=45°，
∵△ABD是等腰直角三角形，O是BD的中點(diǎn)，
∴AO⊥BD，
∴∠BOA=∠BEP=90°，∠BAO=180°-∠BOA-∠B=45°，
∴△BOA∽△BEP，
∵

BP

BE

=

BA

BO

=

2

，
∴

AP

OE

=

2

，
∴AP=

2

OE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)難度不小．