Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標系中，矩形ABCO，B點坐標為（4，3），拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過矩形ABCO的頂點B、C，D為BC的中點，直線AD與y軸交于E點，與拋物線y= x2+bx+c交于第四象限的F點．

（1）求該拋物線解析式與F點坐標；
（2）如圖（2），動點P從點C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；同時，動點M從點A出發(fā)，沿線段AE以每秒 個單位長度的速度向終點E運動．過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設(shè)點P的運動時間為t秒

①問EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果沒有，請說明理由．
②若△PMH是等腰三角形，請直接寫出此時t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵矩形ABCO，B點坐標為（4，3）

∴C點坐標為（0，3）

∵拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過矩形ABCO的頂點B、C，

∴ ，

解得： ，

∴該拋物線解析式y(tǒng)=﹣ x2+2x+3，

設(shè)直線AD的解析式為y=k1x+b1

∵A（4，0）、D（2，3），

∴ ∴ ，

∴ ，

聯(lián)立 ，

∵F點在第四象限，

∴F（6，﹣3）；

（2）

解：①∵E（0，6），∴CE=CO，（如圖（1）），

連接CF交x軸于H′，過H′作BC的垂線交BC于P′，當P

運動到P′，當H運動到H′時，EP+PH+HF的值最�。�

設(shè)直線CF的解析式為y=k2x+b2

∵C（0，3）、F（6，﹣3），

∴ ，

解得： ，

∴y=﹣x+3

當y=0時，x=3，

∴H′（3，0），

∴CP=3，∴t=3；

②如圖1過M作MN⊥OA交OA于N，

∵△AMN∽△AEO，

∴ ，

∴ ，

∴AN=t，MN= ，

I如圖3，當PM=HM時，M在PH的垂直平分線上，

∴MN= PH，

∴MN= ，

∴t=1；

II如圖1，當HM=HP時，MH=3，MN= ，

HN=OA﹣AN﹣OH=4﹣2t 在Rt△HMN中，MN2+HN2=MH2，

∴ ，

即25t2﹣64t+28=0，

解得：t1=2（舍去）， ；

III如圖2，圖4，當PH=PM時，

∵PM=3，MT= ，PT=BC﹣CP﹣BT=|4﹣2t|，

∴在Rt△PMT中，MT2+PT2=PM2，

即 ，

∴25t2﹣100t+64=0，

解得： ，

綜上所述： ， ，1， ．

【解析】（1）由矩形的性質(zhì)可求出C點的坐標，把B和C點的坐標代入y= x2+bx+c求出b和c的值即可該拋物線解析式；設(shè)直線AD的解析式為y=k1x+b1把A（4，0）、D（2，3）代入求出一次函數(shù)的解析式，再聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式即可求出F點的坐標；（2）①連接CF交x軸于H′，過H′作BC的垂線交BC于P′，當P運動到P′，當H運動到H′時，EP+PH+HF的值最小；②過M作MN⊥OA交OA于N，再分別討論當PM=HM時，M在PH的垂直平分線上，當PH=PM時，求出符合題意的t值即可．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的性質(zhì)，掌握對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形即可以解答此題．