【題目】如圖①,在菱形, ,.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)交邊于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)向上作,且,以、為邊作矩形.設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(秒),矩形與菱形重疊部分圖形的面積為.

1)用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng).

2)當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí),求的值.

3)當(dāng)時(shí),求之間的函數(shù)關(guān)系式,

4)如圖②,若點(diǎn)的中點(diǎn),作直線.當(dāng)直線將矩形分成兩部分圖形的面積比為時(shí),直接寫出的值

【答案】1;(2 ;(3 ;(4

【解析】

1)由菱形性質(zhì)得∠D=B=60°,AD=AB=CD=4,ACD是等邊三角形,證出APQ是等腰三角形,得出PF=QF,PF=PAsin60°=t,即可得出結(jié)果;

2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí),由題意得:PDN是等邊三角形,得出PD=PN,由已知得PN=PQ=3t,得出PD=3t,由題意得出方程,解方程即可;

3)當(dāng)0t≤時(shí),PQ=2tPN=PQ=3t,S=矩形PQMN的面積=PQ×PN,即可得出結(jié)果;當(dāng)t1時(shí),PDN是等邊三角形,得出PE=PD=AD-PA=4-2t,∠FEN=PED=60°,得出NE=PN-PE=5t-4,FN=NE=5t-4),S=矩形PQMN的面積-2EFN的面積,即可得出結(jié)果;

4)分兩種情況:當(dāng)0t≤時(shí),ACD是等邊三角形,AC=AD=4,得出OA=2,OGMNH的中位線,得出OG=4t-2,NH=2OG=8t-4,由面積關(guān)系得出方程,解方程即可;

當(dāng)t≤2時(shí),由平行線得出OEF∽△MEQ,得出,即,解得EF=,得出EQ=,由三角形面積關(guān)系得出方程,解方程即可.

1)∵在菱形ABCD中,∠B=60°,

∴∠D=B=60°,AD=AB=CD=4,ACD是等邊三角形,

∴∠CAD=60°,

PQAC

∴△APQ是等腰三角形,

PF=QFPF=PAsin60°=2t×=t,

PQ=2t

2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí),如圖2所示:

由題意得:PDN是等邊三角形,

PD=PN,

PN=PQ=×2t=3t

PD=3t,

PA+PD=AD,

2t+3t=4

解得:t=

3)當(dāng)0t≤時(shí),如圖1所示:

PQ=2t,PN=PQ=×2t=3t,

S=矩形PQMN的面積=PQ×PN=2t×3t=6t2;

當(dāng)t1時(shí),如圖3所示:

∵△PDN是等邊三角形,

PE=PD=AD-PA=4-2t,∠FEN=PED=60°,

NE=PN-PE=3t-4-2t=5t-4,

FN=NE=5t-4),

S=矩形PQMN的面積-2EFN的面積=6t2-2××5t-42=-19t2+40t-16,

S=-19t2+40t-16

4)分兩種情況:當(dāng)0t≤時(shí),如圖4所示:

∵△ACD是等邊三角形,

AC=AD=4,

OAC的中點(diǎn),

OA=2,OGMNH的中位線,

OG=3t-2-t=4t-2,NH=2OG=8t-4,

∴△MNH的面積=MN×NH=×28t-4=×6t2

解得:t=;

當(dāng)t≤2時(shí),如圖5所示:

ACQM

∴△OEF∽△MEQ,

,即,

解得:EF=,

EQ=

∴△MEQ的面積=×3t×=×6t2,

解得:t=;

綜上所述,當(dāng)直線OM將矩形PQMN分成兩部分圖形的面積比為12時(shí),t的值為

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1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)D重合時(shí),求PQ的長(zhǎng);

2)如圖2,試探索: 的比值是否隨點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化?若有變化,請(qǐng)說(shuō)明你的理由;若沒(méi)有變化,請(qǐng)求出它的比值;

3)如圖3,若點(diǎn)Q在線段BP上,設(shè)PQ=xRM=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域.

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1)請(qǐng)你用畫樹(shù)狀圖或列表的方法,求這兩數(shù)差為0的概率;

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