【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),二次函數(shù)y=x2+bx﹣2的圖象經(jīng)過C點.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)平移該二次函數(shù)圖象的對稱軸所在直線l,若直線l恰好將△ABC的面積分為1:2兩部分,請求出此時直線l與x軸的交點坐標(biāo);
(3)將△ABC以AC所在直線為對稱軸翻折180°,得到△AB′C,那么在二次函數(shù)圖象上是否存在點P,使△PB′C是以B′C為直角邊的直角三角形?若存在,請求出P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2-x﹣2;(2)直線l與x軸的交點坐標(biāo)為(1,0)或(3﹣,0);(3)點P的坐標(biāo)為:(﹣,)或(﹣1,﹣1)或(,﹣).
【解析】
(1)過點C作CD⊥x軸于點D,根據(jù)△AOB≌△CDA求出CD、OD得出C(3,1),再代入拋物線即可.
(2)先求出S△ABC,求出直線BC的解析式為,同理求得直線AC、AB的解析式,設(shè)直線l與x軸交點坐標(biāo)為(x,0),設(shè)直線l與BC、AC分別交于點F、E,根據(jù),得出,求出x即可,設(shè)直線l與BC、AB分別交于點F、E,根據(jù),得出 求出x即可.
(3)延長CB交拋物線于點P3,過點B′作B′P1⊥BC,交拋物線于點P1、P2,設(shè)直線B′P1的解析式為:,過點B′作B′M⊥x軸于點M,根據(jù)△AOB≌△AMB′求出B′的坐標(biāo),得出直線B′P1的解析式為:,再根據(jù)得出P1、P2的坐標(biāo),根據(jù) 得出P3的坐標(biāo).
解:(1)如圖1所示,
過點C作CD⊥x軸于點D,則∠CAD+∠ACD=90°.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠OAB+∠CAD=90°,
∴∠OAB=∠ACD,
∵∠BOA=∠ADC=90°,
在△AOB和△CDA中,
,
∴△AOB≌△CDA(AAS).
∴CD=OA=1,AD=OB=2,
∴OD=OA+AD=3,
∴C(3,1).
∵點C(3,1)在拋物線,
∴解得:b=,
∴拋物線的解析式為:.
(2)在Rt△AOB中,
∵OA=1,OB=2,
∴AB=,
∴.
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
∵B(0,2),C(3,1),
∴ ,
解得k=,b=2,
∴.
同理求得直線AC的解析式為:,
直線AB的解析式為:y=-2x+2,
設(shè)直線l與x軸交點坐標(biāo)為(x,0)
如圖2:設(shè)直線l與BC、AC分別交于點F、E,則EF=.
△CEF中,EF邊上的高h=OD-x=3-x.
由題意得:,
即:,
∴,
解得x1=,x2=(不合題意,舍去),
如圖3:
設(shè)直線l與BC、AB分別交于點F、E,
則EF=
△BEF中,EF邊上的高h=x.
由題意得:.
即:.
解得x1=1,x2=-1(不合題意,舍去)
當(dāng)直線l與x軸交點坐標(biāo)為(1,0)或(,0)時,恰好將△ABC的面積分為1:2的兩部分,
(3)存在.
如圖4,
延長CB交拋物線于點P3,過點B′作B′P1⊥BC,交拋物線于點P1、P2,
則CB∥B′P1,
設(shè)直線B′P1的解析式為:,
過點B′作B′M⊥x軸于點M,
在△AOB和△AMB′中,
,
∴△AOB≌△AMB′(AAS),
∴B′M=BO=2,
AM=AO=1,
∴B′的坐標(biāo)為(2,-2),
∴,
∴b=,
∴直線B′P1的解析式為:y=
由 得 或 ,
∴P1的坐標(biāo)是(-1,-1),P2的坐標(biāo)是 ,
∵∠ACB=∠ACB′=45°,
∴∠B′CP3=90°,
由 得: (舍去),或 ,
∴P3的坐標(biāo)是 ,
∴P點坐標(biāo)是P1(-1,-1),P2,P3.
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【題目】若關(guān)于x的不等式組無解,且關(guān)于y的分式方程有非正整數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)k的值之和為( 。
A.﹣7B.﹣12C.﹣20D.﹣34
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【題目】如圖①,在菱形中, ,.點從點出發(fā)以每秒2個單位的速度沿邊向終點運動,過點作交邊于點,過點向上作,且,以、為邊作矩形.設(shè)點的運動時間為(秒),矩形與菱形重疊部分圖形的面積為.
(1)用含的代數(shù)式表示線段的長.
(2)當(dāng)點落在邊上時,求的值.
(3)當(dāng)時,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,
(4)如圖②,若點是的中點,作直線.當(dāng)直線將矩形分成兩部分圖形的面積比為時,直接寫出的值
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【題目】如圖,已知拋物線(為常數(shù),且)與軸從左至右依次交于A,B兩點,與軸交于點C,經(jīng)過點B的直線與拋物線的另一交點為D.
(1)若點D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若在第一象限的拋物線上有點P,使得以A,B,P為頂點的三角形與△ABC相似,求的值;
(3)在(1)的條件下,設(shè)F為線段BD上一點(不含端點),連接AF,一動點M從點A出發(fā),沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止. 當(dāng)點F的坐標(biāo)是多少時,點M在整個運動過程中用時最少?
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【題目】某工廠甲、乙兩個部門各有員工400人,為了解這兩個部門員工的生產(chǎn)技能情況,進行了抽樣調(diào)查,過程如下,請補充完整.
收集數(shù)據(jù)
從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工,進行了生產(chǎn)技能測試,測試成績(百分制)如下:
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90
75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83
80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述數(shù)據(jù)
按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
成績 人數(shù) 部門 | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
甲 | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
乙 |
(說明:成績80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀,70--79分為生產(chǎn)技能良好,60--69分為生產(chǎn)技能合格,60分以下為生產(chǎn)技能不合格)
分析數(shù)據(jù)
兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:
部門 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | 78.3 | 77.5 | 75 |
乙 | 78 | 80.5 | 81 |
得出結(jié)論:
.估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為____________;
.可以推斷出_____________部門員工的生產(chǎn)技能水平較高,理由為_____________.(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)
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【題目】當(dāng)今,青少年用電腦手機過多,視力水平下降已引起了全社會的關(guān)注,某校為了解八年級1000名學(xué)生的視力情況,從中抽查了150名學(xué)生的視力情況,通過數(shù)據(jù)處理,得到如下的頻數(shù)分布表.解答下列問題:
視力范圍分組 | 組中值 | 頻數(shù) |
3.95≤x<4.25 | 4.1 | 20 |
4.25≤x<4.55 | 4.4 | 10 |
4.55≤x<4.85 | 4.7 | 30 |
4.85≤x<5.15 | 5.0 | 60 |
5.15≤x<5.45 | 5.3 | 30 |
合計 | 150 |
(1)分別指出參加抽測學(xué)生的視力的眾數(shù)、中位數(shù)所在的范圍;
(2)若視力為4.85以上(含4.85)為正常,試估計該校八年級學(xué)生視力正常的人數(shù)約為多少?
(3)根據(jù)頻數(shù)分布表求加權(quán)平均數(shù)時,統(tǒng)計中常用各組的組中值代表各組的實際數(shù)據(jù),把各組的頻數(shù)相應(yīng)組中的權(quán).請你估計該校八年級學(xué)生的平均視力是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了豐富校園文化,某校決定舉行學(xué)生趣味運動會,將比賽項目確定為袋鼠跳,夾球跑,跳大繩,綁腿跑和拔河賽5項,為了解學(xué)生對這5項運動的喜歡情況,隨機調(diào)查了該校部分學(xué)生最喜歡的一種項目(每名學(xué)生必選且只能選擇5項中的一種),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖表:
根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題:
(1)求a,b的值.
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整.
(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,請你估計該校2500名學(xué)生中有多少名學(xué)生最喜歡綁腿跑.
學(xué)生最喜歡的活動項目的人數(shù)統(tǒng)計表
項目 | 學(xué)生數(shù)(名) | 百分比(%) |
袋鼠跳 | 45 | 15 |
夾球跑 | a | 10 |
跳大繩 | 75 | 25 |
綁腿跑 | b | 20 |
拔河賽 | 90 | 30 |
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作,書中有一個問題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等.交易其一,金輕十三兩.問金、銀一枚各重幾何?”.意思是:甲袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同),乙袋中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同),稱重兩袋相等.兩袋互相交換1枚后,甲袋比乙袋輕了13兩(袋子重量忽略不計).問黃金、白銀每枚各重多少兩?設(shè)每枚黃金重x兩,每枚白銀重y兩,根據(jù)題意得( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校為了提高學(xué)生跳遠科目的成績,對全校500名九年級學(xué)生開展了為期一個月的跳遠科目強化訓(xùn)練。王老師為了了解學(xué)生的訓(xùn)練情況,強化訓(xùn)練前,隨機抽取了該年級部分學(xué)生進行跳遠測試,經(jīng)過一個月的強化訓(xùn)練后,再次測得這部分學(xué)生的跳遠成績,將兩次測得的成績制作成圖所示的統(tǒng)計圖和不完整的統(tǒng)計表(滿分10分,得分均為整數(shù)).
根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)訓(xùn)練后學(xué)生成績統(tǒng)計表中,并補充完成下表:
(2)若跳遠成績9分及以上為優(yōu)秀,估計該校九年級學(xué)生訓(xùn)練后比訓(xùn)練前達到優(yōu)秀的人數(shù)增加了多少?
(3)經(jīng)調(diào)查,經(jīng)過訓(xùn)練后得到9分的五名同學(xué)中,有三名男生和兩名女生,王老師要從這五名同學(xué)中隨機抽取兩名同學(xué)寫出訓(xùn)練報告,請用列表或畫樹狀圖的方法,求所抽取的兩名同學(xué)恰好是一男一女的概率.
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