【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)M、N分別在線段DA、BA的延長(zhǎng)線上,且BD=BN=DM,連接BM、DN并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P.

(1)求證:∠P=90°﹣C;

(2)當(dāng)∠C=90°,ND=NP時(shí),判斷線段MPAM的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】分析(1)首先過點(diǎn)BBFPD于點(diǎn)F,過點(diǎn)DDGBP于點(diǎn)G,BFDG交于點(diǎn)H,由BD=BN=DM,可得BFDG是∠DBN、MDB的平分線,又由四邊形內(nèi)角和為360°,可得∠P+FHG=180°,繼而可得∠DHB=FHG=180°-P=90°+C,則可證得結(jié)論;

(2)首先過點(diǎn)PPSCD于點(diǎn)S,PRBC于點(diǎn)R,易證得PKD≌△PSD(AAS),同理:PKB≌△PRB,然后延長(zhǎng)BNQS于點(diǎn)Q,則QPS的中點(diǎn),設(shè)QS=PQ=x,即可求得答案.

詳解(1)證明:過點(diǎn)BBFPD于點(diǎn)F,過點(diǎn)DDGBP于點(diǎn)G,BFDG交于點(diǎn)H,

∴∠FHG+P=180°,

∴∠DHB+P=180°,

∴∠DHB=180°﹣P,

BD=BN=DM,

BFDG是∠DBN、MDB的平分線,

∴由四邊形內(nèi)角和為360°,可得∠P+FHG=180°,

∵∠DHB=180°﹣(GDB+FBD)=180°﹣(180°﹣DAB)=90°﹣DAB,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠DAB=C,

∴∠DHB=90°﹣C,

∵∠DHB=180°﹣P,

180°﹣P=90°+C,

∴∠P=90°﹣C;

(2)MP:AM=:2.

理由:過點(diǎn)PPSCD于點(diǎn)S,PRBC于點(diǎn)R,

當(dāng)∠C=90°時(shí),則∠DPB=45°,

BNCD,

∴∠BND=BDN=SDN,

同理:∠PBD=PBR,

PKBD于點(diǎn)K,

PKDPSD中,

∴△PKD≌△PSD(AAS),

同理:PKB≌△PRB,

PS=PR,

∴四邊形PSCR是正方形,

延長(zhǎng)BNQS于點(diǎn)Q,則QPS的中點(diǎn),

設(shè)QS=PQ=x,

PS=CS=RC=2x,RB=KB=x,

設(shè)SD=m,BD=x+m,

則(x+m)2=x2+(2x﹣m)2,

m:x=2:3,

DK=SD=x,BD=x,

AM=DM﹣AD=BD﹣AD=x,

根據(jù)勾股定理得,AB==x,

RtABM中,BM=,

PB=

PM=,

MP:AM=:2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】現(xiàn)有正方形ABCD和一個(gè)以O(shè)為直角頂點(diǎn)的三角板,移動(dòng)三角板,使三角板的兩直角邊所在直線分別與直線BC,CD交于點(diǎn)M,N.

(1如圖1,若點(diǎn)O與點(diǎn)A重合,則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是__________________;

(2如圖2,若點(diǎn)O正方形的中心(即兩對(duì)角線的交點(diǎn),則(1中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由;

(3如圖3,若點(diǎn)O在正方形的內(nèi)部(含邊界,當(dāng)OM=ON時(shí),請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)O在移動(dòng)過程中可形成什么圖形?

(4如圖4是點(diǎn)O在正方形外部的一種情況.當(dāng)OM=ON時(shí),請(qǐng)你就“點(diǎn)O的位置在各種情況下(含外部移動(dòng)所形成的圖形”提出一個(gè)正確的結(jié)論.(不必說理

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【題目】《九章算術(shù)》卷九勾股中記載:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,適與岸齊.問霞長(zhǎng)幾何.

注釋:今有正方形水池邊長(zhǎng)1丈,蘆葦生長(zhǎng)在中央,長(zhǎng)出水面1.將蘆葦向池岸牽引,恰好與水岸齊,問蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度(一丈等于10尺).解決下列問題:

1)示意圖中,線段的長(zhǎng)為______尺,線段的長(zhǎng)為______尺;

2)求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度.

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【題目】國(guó)務(wù)院辦公廳在2015316日發(fā)布了《中國(guó)足球發(fā)展改革總體方案》,這是中國(guó)足球史上的重大改革,為進(jìn)一步普及足球知識(shí),傳播足球文化,我市某區(qū)在中小學(xué)舉行了足球在身邊知識(shí)競(jìng)賽,各類獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)的比例情況如圖所示,其中獲得三等獎(jiǎng)的學(xué)生共50名,請(qǐng)結(jié)合圖中信息,解答下列問題:

1)獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù);

2)在本次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)中,A,B,CD四所學(xué)校表現(xiàn)突出,現(xiàn)決定從這四所學(xué)校中隨機(jī)選取兩所學(xué)校舉行一場(chǎng)足球友誼賽,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到A,B兩所學(xué)校的概率.

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【題目】在正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E,F分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動(dòng).

1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自DC移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F在邊CB上自CB移動(dòng)時(shí),連接AEDF交于點(diǎn)P,請(qǐng)你寫出AEDF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理;

2)如圖2,當(dāng)E,F分別在邊CDBC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí),連接AEDF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?(請(qǐng)你直接回答,不需證明);連接AC,求ACE為等腰三角形時(shí)CECD的值;

3)如圖3,當(dāng)E,F分別在直線DC,CB上移動(dòng)時(shí),連接AEDF交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E,F的移動(dòng),使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng),請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖.AD=2,試求出線段CP的最大值.

1 2 3

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【題目】已知線段AB,反向延長(zhǎng)線段ABC,使BCABDBC的中點(diǎn),EBD的中點(diǎn).

(1)①補(bǔ)全圖形;

②若AB4,則AE_____(直接寫出結(jié)果).

(2)AE2,求AC的長(zhǎng).

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【題目】如圖是本地區(qū)一種產(chǎn)品30天的銷售圖象,圖1是產(chǎn)品日銷售量y(單位:件)與時(shí)間t(單位:天)的函數(shù)關(guān)系,圖2是一件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)z(單位:元)與時(shí)間t(單位:天)的函數(shù)關(guān)系,已知日銷售利潤(rùn)=日銷售量×一件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

A. 24天的銷售量為200 B. 10天銷售一件產(chǎn)品的利潤(rùn)是15

C. 12天與第30天這兩天的日銷售利潤(rùn)相等 D. 30天的日銷售利潤(rùn)是750

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