【題目】已知,如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的斜邊BC在x軸上,直角頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上,,.
(1)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式和對(duì)稱軸;
(2)設(shè)點(diǎn)是拋物線在第一象限部分上的點(diǎn),的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求使S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在拋物線對(duì)稱軸上,是否存在這樣的點(diǎn)M,使得為等腰三角形(P為上述(2)問中使S最大時(shí)的點(diǎn))?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)設(shè)點(diǎn)M是直線AC上的動(dòng)點(diǎn),試問:在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在位于直線AC下方的點(diǎn)N,使得以點(diǎn)O、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=;對(duì)稱軸為x=;(2)S=-(m-2)2+4,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3);(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)或(,)或(,)或(,)或(,)時(shí),△MPC為等腰三角形;(4)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,)或(,)或(-2,1).
【解析】
(1)由同角的余角相等得到一對(duì)角相等,再由一對(duì)直角相等,得到三角形AOB與三角形AOC相似,由相似得比例,求出OC的長,確定出C坐標(biāo),由B與C坐標(biāo)設(shè)出拋物線的交點(diǎn)式解析式,將A坐標(biāo)代入求出a的值,確定出拋物線解析式,求出對(duì)稱軸即可;
(2)連接AP,CP,過P作PQ垂直于x軸,將x=m代入拋物線解析式表示出P的縱坐標(biāo),即為PQ的長,三角形APC面積=梯形APQO面積+三角形PQC面積-三角形AOC面積,列出S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大時(shí)m的值,即可確定出此時(shí)P的坐標(biāo);
(3)分點(diǎn)M是頂點(diǎn)、點(diǎn)C是頂點(diǎn)、點(diǎn)P是頂點(diǎn)三種情況分別討論即可;
(4)分為邊、為對(duì)角線分別進(jìn)行討論即可.
(1)∵A(0,2),B(-1,0),
∴OA=2,OB=1,
∵∠AOB=∠AOC=∠BAC=90°,
∴∠ABO+∠BAO=90°,∠BAO+∠OAC=90°,
∴∠ABO=∠CAO,
∴△AOB∽△COA,
∴,即,解得,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,
設(shè)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式為,
將代入,得,解得,
∴過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式為,即,
∵,
∴拋物線的對(duì)稱軸為;
(2)過點(diǎn)作軸的垂線,垂足為點(diǎn),
∵點(diǎn)在上,
∴,
∴ ,
,
,
∴
,
∵,
∴當(dāng)時(shí),最大,
當(dāng)時(shí),,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為;
(3)存在.
設(shè)點(diǎn),
∵,,
∴,
,
.
分三種情況討論:
①當(dāng)點(diǎn)是頂點(diǎn)時(shí),,即,解得,.
∴,
②當(dāng)點(diǎn)是頂點(diǎn)時(shí),,即,解得,.
∴,,
③當(dāng)點(diǎn)是頂點(diǎn)時(shí),,即,解得,.
∴,,
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或時(shí),為等腰三角形.
(4)當(dāng)為邊時(shí),,,
若在右側(cè)時(shí),則點(diǎn)的坐標(biāo)為;
若在左側(cè)時(shí),則點(diǎn)的坐標(biāo)為,
當(dāng)為對(duì)角線時(shí),垂直平分,則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,
把代入得,
∴,
∴,
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,)或(,)或(-2,1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AM是⊙O直徑,弦BC⊥AM,垂足為點(diǎn)N,弦CD交AM于點(diǎn)E,連按AB和BE.
(1)如圖1,若CD⊥AB,垂足為點(diǎn)F,求證:∠BED=2∠BAM;
(2)如圖2,在(1)的條件下,連接BD,若∠ABE=∠BDC,求證:AE=2CN;
(3)如圖3,AB=CD,BE:CD=4:7,AE=11,求EM的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線上在x軸下方的動(dòng)點(diǎn),過M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的最大值;
(3)E是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),F是拋物線上一點(diǎn),是否存在以A,B,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中,黑板上畫著如圖所示的圖形,活動(dòng)前老師在準(zhǔn)備的四張卡片(大小、顏色、形狀相同)的正面上分別寫有如下四個(gè)等式中的一個(gè)等式:①;②;③;④;小英同學(xué)閉上眼睛從四張卡片中隨機(jī)抽出一張,再從剩下的卡片中隨機(jī)抽出另一張,請(qǐng)結(jié)合圖形回答下列問題:
(1)當(dāng)抽得②和④時(shí),用②和④作條件能否判定四邊形是平行四邊形,請(qǐng)說明理由;
(2)請(qǐng)你用樹狀圖或表格表示抽取兩張卡片上的條件的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(用序號(hào)表示)并求以已經(jīng)抽取的兩張卡片上的條件為已知,使四邊形不能構(gòu)成平行四邊形的概率.
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【題目】過□ABCD對(duì)角線交點(diǎn)O作直線m,分別交直線AB于點(diǎn)E,交直線CD于點(diǎn)F,若AB=4,AE=6,則DF的長是___________.
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【題目】隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,汽車逐漸走入平常百姓家.某數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)抽取了我市某單位部分職工進(jìn)行調(diào)查,對(duì)職工購車情況分4類(A:車價(jià)40萬元以上;B:車價(jià)在20﹣40萬元;C:車價(jià)在20萬元以下;D:暫時(shí)未購車)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成以下條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)調(diào)查樣本人數(shù)為 ,樣本中B類人數(shù)百分比是 ,其所在扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角度數(shù)是 ;
(2)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)該單位甲、乙兩個(gè)科室中未購車人數(shù)分別為2人和3人,現(xiàn)從這5個(gè)人中選2人去參觀車展,用列表或畫樹狀圖的方法,求選出的2人來自不同科室的概率.
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【題目】寫字是學(xué)生的一項(xiàng)基本功,為了了解某校學(xué)生的書寫情況,隨機(jī)對(duì)該校部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,測(cè)試結(jié)果分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了下列兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,回答以下問題:
(1)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)若該校共有2000名學(xué)生,估計(jì)該校書寫等級(jí)為“D級(jí)”的學(xué)生約有 人;
(3)隨機(jī)抽取了4名等級(jí)為“A級(jí)”的學(xué)生,其中有3名女生,1名男生,現(xiàn)從這4名學(xué)生中任意抽取2名,用列表或畫樹狀圖的方法,求抽到的兩名學(xué)生都是女生的概率.
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【題目】如圖,AB是的直徑,點(diǎn)C是外一點(diǎn),連接AC,BC,AC與交于點(diǎn)D,弦DE與直徑AB交于點(diǎn)F,.
求證:BC是的切線;
若,,,求CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖形的操作過程(本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長均為a,豎直方向的邊長均b):
●在圖1中,將線段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B2B1(即陰影部分);
●在圖2中,將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3,得到封閉圖形A1A2A3B3B2B1(即陰影部分).
(1)在圖3中,請(qǐng)你類似地畫一條有兩個(gè)折點(diǎn)的線,同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線畫出陰影;
(2)請(qǐng)你分別寫出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積:
S1=__________,S2=__________,S3=__________.
(3)聯(lián)想與探索
如上圖,在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路(小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位),請(qǐng)你猜想空白部分表示的草場(chǎng)地面積是多少?并說明你的猜想是正確的.
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