【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和B(3,0),與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線上在x軸下方的動點,過M作MN∥y軸交直線BC于點N,求線段MN的最大值;
(3)E是拋物線對稱軸上一點,F是拋物線上一點,是否存在以A,B,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1) y=x2﹣4x+3;(2);(3)見解析.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可;
(2)設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,m2﹣4m+3),求出直線BC的解析,根據(jù)MN∥y軸,得到點N的坐標(biāo)為(m,﹣m+3),由拋物線的解析式求出對稱軸,繼而確定出1<m<3,用含m的式子表示出MN,繼而利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;
(3)分AB為邊或為對角線進(jìn)行討論即可求得.
(1)將點B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=x2+bx+c中,
得:,
解得:,
故拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3;
(2)設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,m2﹣4m+3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,
把點B(3,0)代入y=kx+3中,
得:0=3k+3,解得:k=﹣1,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3,
∵MN∥y軸,
∴點N的坐標(biāo)為(m,﹣m+3),
∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴拋物線的對稱軸為x=2,
∴點(1,0)在拋物線的圖象上,
∴1<m<3.
∵線段MN=﹣m+3﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,
∴當(dāng)m=時,線段MN取最大值,最大值為;
(3)存在.點F的坐標(biāo)為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).
當(dāng)以AB為對角線,如圖1,
∵四邊形AFBE為平行四邊形,EA=EB,
∴四邊形AFBE為菱形,
∴點F也在對稱軸上,即F點為拋物線的頂點,
∴F點坐標(biāo)為(2,﹣1);
當(dāng)以AB為邊時,如圖2,
∵四邊形AFBE為平行四邊形,
∴EF=AB=2,即F2E=2,F1E=2,
∴F1的橫坐標(biāo)為0,F2的橫坐標(biāo)為4,
對于y=x2﹣4x+3,
當(dāng)x=0時,y=3;
當(dāng)x=4時,y=16﹣16+3=3,
∴F點坐標(biāo)為(0,3)或(4,3),
綜上所述,F點坐標(biāo)為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).
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【題目】如圖,在ABCD中,以點A為圓心,AB的長為半徑的圓恰好與CD相切于點C,交AD于點E,交BA的延長線于點F,若弧EF的長為π,則圖中陰影部分的面積為______.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在兩坐標(biāo)軸上,點C坐標(biāo)為(﹣1,0),點A的坐標(biāo)為(0,2).一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點B,C,反比例函數(shù)y=的圖象也經(jīng)過點B.
(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)直接寫出當(dāng)x<0時,kx+b﹣<0的解集.
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【題目】已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).
(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時,求AB及PD的長;
(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大。
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【題目】如圖,PA、PB是⊙O的切線,CD切⊙O于點E,△PCD的周長為12,∠APB=60°.
求:(1)PA的長;
(2)∠COD的度數(shù).
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【題目】在矩形ABCD中,∠B的角平分線BE與AD交于點E,∠BED的角平分線EF與DC交于點F,若AB=9,DF=2FC,則BC=____.(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖像交軸于,交軸于,過畫直線。
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點在軸正半軸上,且,求的長;
(3)點在二次函數(shù)圖像上,以為圓心的圓與直線相切,切點為。
① 點在軸右側(cè),且(點與點對應(yīng)),求點的坐標(biāo);
② 若的半徑為,求點的坐標(biāo)。
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【題目】已知,如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的斜邊BC在x軸上,直角頂點A在y軸的正半軸上,,.
(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式和對稱軸;
(2)設(shè)點是拋物線在第一象限部分上的點,的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求使S最大時點P的坐標(biāo);
(3)在拋物線對稱軸上,是否存在這樣的點M,使得為等腰三角形(P為上述(2)問中使S最大時的點)?若存在,請直接寫出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)設(shè)點M是直線AC上的動點,試問:在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在位于直線AC下方的點N,使得以點O、A、M、N為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出點N的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】某校為了解學(xué)生體質(zhì)情況,從各年級隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測試,每個學(xué)生的測試成績按標(biāo)準(zhǔn)對應(yīng)為優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個等級,統(tǒng)計員在將測試數(shù)據(jù)繪制成圖表時發(fā)現(xiàn),優(yōu)秀漏統(tǒng)計4人,良好漏統(tǒng)計6人,于是及時更正,從而形成如圖圖表,請按正確數(shù)據(jù)解答下列各題:
學(xué)生體能測試成績各等次人數(shù)統(tǒng)計表
體能等級 | 調(diào)整前人數(shù) | 調(diào)整后人數(shù) |
優(yōu)秀 | 8 |
|
良好 | 16 |
|
及格 | 12 |
|
不及格 | 4 |
|
合計 | 40 |
|
(1)填寫統(tǒng)計表;
(2)根據(jù)調(diào)整后數(shù)據(jù),補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校共有學(xué)生1500人,請你估算出該校體能測試等級為“優(yōu)秀”的人數(shù).
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