【題目】如圖,PB為O的切線(xiàn),B為切點(diǎn),直線(xiàn)PO交于點(diǎn)E、F,過(guò)點(diǎn)B作PO的垂線(xiàn)BA,垂足為點(diǎn)D,交O于點(diǎn)A,延長(zhǎng)AO與O交于點(diǎn)C,連接BC,AF.

(1)求證:直線(xiàn)PA為O的切線(xiàn);

(2)試探究線(xiàn)段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系,并加以證明;

(3)若BC=6,tanF=,求cosACB的值和線(xiàn)段PE的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)EF2=4ODOP,證明見(jiàn)解析(3)

【解析】解:(1)連接OB,

PB是O的切線(xiàn),∴∠PBO=90°。

OA=OB,BAPO于D,

AD=BD,POA=POB。

PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴∠PAO=PBO=90°。直線(xiàn)PA為O的切線(xiàn)。

(2)EF2=4ODOP。證明如下:

∵∠PAO=PDA=90°,∴∠OAD+AOD=90°,OPA+AOP=90°。

∴∠OAD=OPA。∴△OAD∽△OPA,,即OA2=ODOP。

EF=2OA,EF2=4ODOP。

(3)OA=OC,AD=BD,BC=6,OD=BC=3(三角形中位線(xiàn)定理)。

設(shè)AD=x,

tanF=,FD=2x,OA=OF=2x﹣3。

在RtAOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32

解得,x1=4,x2=0(不合題意,舍去)。AD=4,OA=2x﹣3=5。

AC是O直徑,∴∠ABC=90°。

AC=2OA=10,BC=6,cosACB=。

OA2=ODOP,3(PE+5)=25。PE=。

(1)連接OB,根據(jù)垂徑定理的知識(shí),得出OA=OB,POA=POB,而證明PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線(xiàn)的判定定理即可得出結(jié)論。

(2)先證明OAD∽△OPA,相似三角形的性質(zhì)得出OA與OD、OP的關(guān)系,然后將EF=2OA代入關(guān)系式即可。

(3)根據(jù)題意可確定OD是ABC的中位線(xiàn),設(shè)AD=x,然后利用三角函數(shù)的知識(shí)表示出FD、OA,在RtAOD中,勾股定理解出x的值,而能求出cosACB,再由(2)可得OA2=ODOP,代入數(shù)據(jù)即可得出PE的長(zhǎng)。 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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求商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品原來(lái)一天可獲利潤(rùn)多少元?

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