Question

【題目】若兩個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.

(1)請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù).

(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，1)，若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求當(dāng)0≤x≤3時，y2的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) y=（x－1）2+3和y=2（x－1）2+3（答案不唯一）；(2)y2 =x2 -2x+1，0.

【解析】

（1）根據(jù)“同簇二次函數(shù)”的定義寫出兩個即可；

（2）將A代入y1=2x24mx+2m2+1中，可求出y1與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出y1+y2與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)“同簇二次函數(shù)”的定義即可求出b、c，從而求出函數(shù)y2的表達(dá)式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)自變量的取值范圍和對稱軸的位置關(guān)系求最值即可.

(1)根據(jù)“同簇二次函數(shù)”的定義：兩個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，開口方向都相同，

故這兩個二次函數(shù)可以為：y=（x－1）2+3和y=2（x－1）2+3；

(2)把A(1,1)代入y1=2x24mx+2m2+1得24m+2m2+1=1，

解得m=1，則y1=2x24x+3=2（x－1）2+1,

∴y1=2x24x+3頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1），且y1+y2=3x2+（b4）x+c+3

∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”

∴

解得：b=-2，c=1

y2 =x2 -2x+1

此拋物線的開口向上，對稱軸為：

∴0≤x≤3包含對稱軸

∴當(dāng)時，y2取最小值，此時y2=0，當(dāng)x=3時，y2取最大值，此時y2=4

∴0