Question

【題目】將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）將圖①中的△A1B1C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖②，點P1是A1C與AB的交點，點Q是A1B1與BC的交點，求證：CP1=CQ；


（2）在圖②中，若AP1=2，則CQ等于多少？
（3）如圖③，在B1C上取一點E，連接BE、P1E，設(shè)BC=1，當(dāng)BE⊥P1B時，求△P1BE面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，

∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，

∵在△B1CQ和△BCP1中，

，

∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），

∴CQ=CP1

（2）解：作P1D⊥CA于D，

∵∠A=30°，

∴P1D= AP1=1，

∵∠P1CD=45°，

∴ =sin45°= ，

∴CP1= P1D= ，

又∵CP1=CQ，

∴CQ=

（3）解：∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，

∴∠A=∠CBE=30°，

∴AC= BC，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠ACP1=∠BCE，

∴△AP1C∽△BEC，

∴AP1：BE=AC：BC= ：1，

設(shè)AP1=x，則BE= x，

在Rt△ABC中，∠A=30°，

∴AB=2BC=2，

∴S△P1BE= × x（2﹣x）=﹣ x2+ x

=﹣ （x﹣1）2+ ，

故當(dāng)x=1時，S△P1BE（max）=

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證得△B1CQ≌△BCP1，即可得到CQ=CP1。
（2）由（1）結(jié)論可知CQ=CP1。要求CQ的長，只需求出CP1的長，添加輔助線，將CP1轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作P1D⊥CA于D，根據(jù)∠A=30°，可求出P1D的長，然后在Rt△P1DC中，可求出CP1的長，即可得出結(jié)論。
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，先證明△AP1C∽△BEC，得對應(yīng)邊成比例，建立方程，用含x的代數(shù)式分別表示出AP1、BE的長，在Rt△ABC中，求出AB的長，即可求出S△P1BE與x的函數(shù)關(guān)系式，求出頂點坐標(biāo)，即可得到△P1BE面積的最大值。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的最值和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．