【題目】如圖1,已知拋物線頂點(diǎn)C(1,4),且與y軸交于點(diǎn)D(0,3).
(1)求該拋物線的解析式及其與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)將直線AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到直線AE,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)如圖2,點(diǎn)P是該拋物線上位于第一象限的點(diǎn),線段AP交BD于點(diǎn)M、交y軸于點(diǎn)N,△BMP和△DMN的面積分別為S1,S2,求S1﹣S2的最大值.
【答案】(1)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(﹣1,0)、(3,0);(2)點(diǎn)E(,);(3)S1﹣S2的最大值為.
【解析】
(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x-h)2+k=a(x-1)2+4,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式,即可求解;
(2)構(gòu)建△ACH,用解直角三角形的方法求出點(diǎn)H的坐標(biāo),進(jìn)而求解;
(3)設(shè)S=S△ABM,則S1-S2=(S1+S)-(S+S2)=S△ABP-S△BDO,即可求解.
解:(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x﹣h)2+k=a(x﹣1)2+4,
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式并解得:a=﹣1,
故拋物線的表達(dá)式為:y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3①;
令y=0,則x=﹣1或3,
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(﹣1,0)、(3,0);
(2)如圖,設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)H,過點(diǎn)H作HN⊥AC于點(diǎn)N,
在△AGC中,tan∠ACG==tan∠HCN,
在Rt△CHN中,設(shè)HN=x,則CN=HNtan∠HCN=2x,
在Rt△ANH中,∠NAH=45°,則AN=NH=x,
故AC=AN+CN=3x=,
故x=,
在Rt△CHN中,CH=,
故點(diǎn)H(1,),
由點(diǎn)A、H的坐標(biāo)得,直線AH的表達(dá)式為:y=x+②,
聯(lián)立①②并解得:x=或﹣1(舍去﹣1),
故點(diǎn)E(,);
(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),y=﹣x2+2x+3,
設(shè)S=S△ABM,
則S1﹣S2=(S1+S)﹣(S+S2)=S△ABP﹣S△BDO
=×AB×y﹣×OB×OD
=×4×y×3×3
=﹣2x2+4x+,
∵﹣2<0,故S1﹣S2有最大值,
當(dāng)x=1時(shí),其最大值為;
故S1﹣S2的最大值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,是的直徑,弦于G,過C點(diǎn)的切線與射線相交于點(diǎn)E,直線與交于點(diǎn)H,,.
(Ⅰ)求的半徑;
(Ⅱ)將射線繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得射線(如圖2),與交于點(diǎn)M,與及切線分別相交于點(diǎn)N,F,當(dāng)時(shí),求切線的長.
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【題目】某學(xué)校招聘數(shù)學(xué)教師,本次招聘進(jìn)行專業(yè)技能測試和課堂教學(xué)展示兩個(gè)項(xiàng)目的考核,這兩項(xiàng)考核的滿分均為100分,學(xué)校將這兩個(gè)項(xiàng)目的得分按一定的比例計(jì)算出總成績.經(jīng)統(tǒng)計(jì),參加考核的4名考生的兩個(gè)項(xiàng)目的得分如下:
(1)經(jīng)過計(jì)算,1號(hào)考生的總成績?yōu)?/span>78分,求專業(yè)技能測試得分和課堂教學(xué)展示得分分別占總成績的百分比;
(2)若學(xué)校錄取總成績最高的考生,通過計(jì)算說明,4名考生中哪一名考生會(huì)被錄?
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【題目】某蔬菜批發(fā)公司用實(shí)際行動(dòng)支持抗擊新冠肺炎疫情,為確保市民在疫情期間的蔬菜供應(yīng),以平均每噸萬元的價(jià)格購進(jìn)一批蔬菜,已知這批蔬菜通過網(wǎng)絡(luò)在市場上的日銷售量(噸)與銷售價(jià)格(萬元/噸)之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示.
(1)求日銷售量與銷售價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式; (不要求寫的取值范圍)
(2)如果要確保日銷售量不小于噸,求最大毛利潤.(假設(shè):毛利潤=銷售額-購進(jìn)成本)
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【題目】五張正面分別寫有數(shù)字:﹣3,﹣2,0,1,2的卡片,它們的背面完全相同,現(xiàn)將這五張卡片背面朝上洗勻.
(1)從中任意抽取一張卡片,則所抽卡片上數(shù)字的絕對(duì)值不小于1的概率是 ;
(2)先從中任意抽取一張卡片,以其正面數(shù)字作為m的值,然后再從剩余的卡片中隨機(jī)抽一張,以其正面的數(shù)字作為n的值,請用列表法或畫樹狀圖法,求點(diǎn)Q(m,n)在第四象限的概率.
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【題目】為了響應(yīng)國家提出的“每天鍛煉1小時(shí)”的號(hào)召,某校積極開展了形式多樣的“陽光體育”運(yùn)動(dòng),毛毛對(duì)該班同學(xué)參加鍛煉的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)(每人只能選其中一項(xiàng)),并繪制了如圖兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)毛毛這次一共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“足球”所在扇形的圓心角度數(shù);
(3)若該校有1800名學(xué)生,請估計(jì)該校喜歡乒乓球的學(xué)生約有多少人.
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【題目】如圖,在△ABC 中,∠ACB 為鈍角,邊 AC 繞點(diǎn) A 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90°得到AD,邊 BC 繞點(diǎn) B 沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90°得到 BE,作 DM⊥AB 于點(diǎn) M,EN⊥AB于 點(diǎn) N, 若 AB=10,EN=4, 則 DM=__________.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)為A、C在雙曲線y1=上,B、D在雙曲線上,k1=2k2(k1>0),AB∥y軸,=24,則k2的值為( )
A.4B.-4C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象相交于A(2,4),B(n,﹣2)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)C是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn),且點(diǎn)C在A的右側(cè),過點(diǎn)C作CD平行于y軸交直線AB于點(diǎn)D,若以C為圓心,CD長為半徑的⊙C恰好與y軸相切,求點(diǎn)C的坐標(biāo).
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