【題目】如圖1,已知拋物線頂點(diǎn)C1,4),且與y軸交于點(diǎn)D0,3).

1)求該拋物線的解析式及其與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo);

2)將直線AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到直線AE,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo);

3)如圖2,點(diǎn)P是該拋物線上位于第一象限的點(diǎn),線段APBD于點(diǎn)M、交y軸于點(diǎn)N,△BMP和△DMN的面積分別為S1,S2,求S1S2的最大值.

【答案】1)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(﹣1,0)、(3,0);(2)點(diǎn)E);(3S1S2的最大值為

【解析】

1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為:y=ax-h2+k=ax-12+4,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式,即可求解;
2)構(gòu)建△ACH,用解直角三角形的方法求出點(diǎn)H的坐標(biāo),進(jìn)而求解;
3)設(shè)S=SABM,則S1-S2=S1+S-S+S2=SABP-SBDO,即可求解.

解:(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為:yaxh2+kax12+4,

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式并解得:a=﹣1,

故拋物線的表達(dá)式為:y=﹣(x12+4=﹣x2+2x+3;

y0,則x=﹣13

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(﹣10)、(30);

2)如圖,設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)H,過點(diǎn)HHNAC于點(diǎn)N,

在△AGC中,tanACGtanHCN,

RtCHN中,設(shè)HNx,則CNHNtanHCN2x,

RtANH中,∠NAH45°,則ANNHx,

ACAN+CN3x,

x,

RtCHN中,CH,

故點(diǎn)H1),

由點(diǎn)A、H的坐標(biāo)得,直線AH的表達(dá)式為:yx+

聯(lián)立①②并解得:x或﹣1(舍去﹣1),

故點(diǎn)E);

3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xy),y=﹣x2+2x+3,

設(shè)SSABM,

S1S2=(S1+S)﹣(S+S2)=SABPSBDO

×AB×y×OB×OD

×4×y×3×3

=﹣2x2+4x+,

∵﹣20,故S1S2有最大值,

當(dāng)x1時(shí),其最大值為;

S1S2的最大值為

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1)求日銷售量與銷售價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式; (不要求寫的取值范圍)

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