【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,),且與y軸交于點(diǎn)C(0,2),與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊).
(1)求拋物線的解析式及A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在(1)中拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在一點(diǎn)P,使AP+CP的值最?若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)在以AB為直徑的⊙M相切于點(diǎn)E,CE交x軸于點(diǎn)D,求直線CE的解析式.
【答案】解:(1)由題意,設(shè)拋物線的解析式為(a≠0)
∵拋物線經(jīng)過(0,2)∴,解得:。
∴拋物線的解析式為,即:。
令y=0時(shí),,解得:x=2或x=6。
∴A(2,0),B(6,0)。
(2)存在。
如圖1,由(1)知:拋物線的對(duì)稱軸l為x=4,
因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱,連接CB交l于點(diǎn)P,則AP=BP,所以AP+CP=BC的值最小。
∵B(6,0),C(0,2),∴OB=6,OC=2。∴BC=2。
∴AP+CP=BC=2。
∴AP+CP的最小值為2。
(3)如圖2,連接ME,
∵CE是⊙M的切線,∴ME⊥CE,∠CEM=90°。
由題意,得OC=ME=2,∠ODC=∠MDE,
∵在△COD與△MED中,,
∴△COD≌△MED(AAS)。∴OD=DE,DC=DM。
設(shè)OD=x,則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x,
∵在Rt△COD中,OD2+OC2=CD2,∴,解得x=。
∴D(,0)。
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,
∵直線CE過C(0,2),D(,0)兩點(diǎn),
則,解得:。
∴直線CE的解析式為。
【解析】
試題(1)利用頂點(diǎn)式求得二次函數(shù)的解析式后令其等于0后求得x的值即為與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)。
(2)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),線段BC的長(zhǎng)即為AP+CP的最小值。
(3)連接ME,根據(jù)CE是⊙M的切線得到ME⊥CE,∠CEM=90°,從而證得△COD≌△MED,設(shè)OD=x,在Rt△COD中,利用勾股定理求得x的值即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法確定線段CE的解析式即可。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,CE⊥BD于E,CF平分∠DCE與DB交于點(diǎn)F.
(1)求證:BF=BC;
(2)若AB=4cm,AD=3cm,求CF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn),延長(zhǎng)DE至F,使得AF∥CD,連接BF、CF.
(1)求證:四邊形AFCD是菱形;
(2)當(dāng)AC=4,BC=3時(shí),求BF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小王在長(zhǎng)江邊某瞭望臺(tái)D處測(cè)得江面上的漁船A的俯角為40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1:0.75,坡長(zhǎng)BC=10米,則此時(shí)AB的長(zhǎng)約為多少米?(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年以來,我國持續(xù)大面積的霧霾天氣讓環(huán)保和健康問題成為焦點(diǎn).為了調(diào)查學(xué)生對(duì)霧霾天氣知識(shí)的了解程度,某校在學(xué)生中做了一次抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果共分為四個(gè)等級(jí):A.非常了解;B.比較了解;C.基本了解;D.不了解.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果,繪制了不完整的三種統(tǒng)計(jì)圖表.
對(duì)霧霾了解程度的統(tǒng)計(jì)表:
對(duì)霧霾的了解程度 | 百分比 |
A.非常了解 | 5% |
B.比較了解 | m |
C.基本了解 | 45% |
D.不了解 | n |
請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表,回答下列問題.
(1)本次參與調(diào)查的學(xué)生共有 人,m= ,n= ;
(2)圖2所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖中D部分扇形所對(duì)應(yīng)的圓心角是 度;
(3)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,學(xué)校準(zhǔn)備開展關(guān)于霧霾知識(shí)競(jìng)賽,某班要從“非常了解”態(tài)度的小明和小剛中選一人參加,現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下游戲來確定,具體規(guī)則是:把四個(gè)完全相同的乒乓球標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,然后放到一個(gè)不透明的袋中,一個(gè)人先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球,另一人再從剩下的三個(gè)球中隨機(jī)摸出一個(gè)球.若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字和為奇數(shù),則小明去;否則小剛?cè)ィ?qǐng)用樹狀圖或列表法說明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為使高一新生入校后及時(shí)穿上合身的校服,現(xiàn)提前對(duì)某校九年級(jí)三班學(xué)生即將所穿校服型號(hào)情況進(jìn)行了摸底調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖(校服型號(hào)以身高作為標(biāo)準(zhǔn),共分為6個(gè)型號(hào)):
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)該班共有 名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)該班學(xué)生所穿校服型號(hào)的眾數(shù)為 ,中位數(shù)為 ;
(4)如果該校預(yù)計(jì)招收新生1500名,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)新生穿170型校服的學(xué)生大約有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1;④a﹣2b+c>0,其中正確的命題是( )
A. ①②③B. ①③C. ①④D. ①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直徑為13的⊙E,經(jīng)過原點(diǎn)O,并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),線段OA、OB(OA>OB)的長(zhǎng)分別是方程x2+kx+60=0的兩根.
(1)OA:OB=____;
(2)若點(diǎn)C在劣弧OA上,連結(jié)BC交OA于D,當(dāng)△BOC∽△BDA時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,,點(diǎn)E在邊CD上,且,與關(guān)于AE所在的直線成對(duì)稱圖形以點(diǎn)A為中心,把順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,連接GF,則線段GF的長(zhǎng)為______.
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