Question

17．如圖，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉90°，點A、C分別落在點A′、C′處．如果點A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 設AB=x，根據平行線的性質列出比例式求出x的值，根據正切的定義求出tan∠BA′C，根據∠ABA′=∠BA′C解答即可．

解答 解：設AB=x，則CD=x，A′C=x+2，
∵AD∥BC，
∴$\frac{C′D}{BC}$=$\frac{A′D}{A′C}$，即$\frac{x}{2}$=$\frac{2}{x+2}$，
解得，x₁=$\sqrt{5}$-1，x₂=-$\sqrt{5}$-1（舍去），
∵AB∥CD，
∴∠ABA′=∠BA′C，
tan∠BA′C=$\frac{BC}{A′C}$=$\frac{2}{\sqrt{5}-1+2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴tan∠ABA′=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查的是旋轉的性質、矩形的性質以及銳角三角函數的定義，掌握旋轉前、后的圖形全等以及銳角三角函數的定義是解題的關鍵．