Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2+bx+c過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，﹣3)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上．

（1）b＝　 　，c＝　 　，點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　；

（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）是否存在點(diǎn)P使得∠PCA＝15°，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣2，﹣3，(﹣1，0)；（2）存在，(1，﹣4)或(﹣2，5)；（3）存在，或

【解析】

（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）分∠ACP是直角、∠P′AC為直角兩種情況，分別求解即可；

（3）分點(diǎn)P在直線AC下方、P（P′）在直線AC的上方兩種情況，分別求解即可．

（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3①，

令y＝0，則x＝3或﹣1，故點(diǎn)B（﹣1，0）；

故答案為：﹣2，﹣3，（﹣1，0）；

（2）存在，

理由：如圖1所示：

當(dāng)①∠ACP是直角時(shí)，

由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)知，OC＝OA，即∠ABC＝45°，

則PC與x軸的夾角為45°，

則設(shè)PC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3②，

聯(lián)立①②并解得：x＝0或1（舍去0），

故點(diǎn)P（1，﹣4）；

②當(dāng)∠P′AC為直角時(shí)，

同理可得：點(diǎn)P′的坐標(biāo)為：（﹣2，5）；

綜上所述，P的坐標(biāo)是（1，﹣4）或（﹣2，5）；

（3）存在，

理由：如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)P在直線AC下方時(shí)，

由（2）知：∠OCA＝45°，

又∵∠PCA＝15°，

∴∠OCP＝45°+15°＝60°，

即直線PC的傾斜角為30°，

則直線PC的表達(dá)式為：y＝x﹣3③，

聯(lián)立①③并解得：x＝2+或0（舍去0）；

故x＝2+；

②當(dāng)點(diǎn)P（P′）在直線AC的上方時(shí)，

同理可得：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：2+；

綜上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是：或．