Question

如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是射線BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．
（1）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數(shù)，并說明理由；
（2）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=m，BC=n（m、n為常數(shù)），E是線段BC上一動點（不含端點B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點G恰好落在射線CD上．當點E沿射線CN運動時，請用含m、n的代數(shù)式表示tan∠FCN的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題,數(shù)形結合

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)首先得出∠FEH=∠BAE，即可得出△EHF≌△ABE（AAS），求出∠FCN的度數(shù)即可；
（2）利用矩形的性質(zhì)得出以及全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得出△EFH≌△AGD，△EFH∽△AEB，即可得出tan∠FCN=

FH

CH

=

EH

AB

=

n

m

．

解答：解：（1）∠FCN=45°，
理由是：作FH⊥MN于H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
在△EHF和△ABE中

∠EBA=∠FHE ∠BAE=∠FEH AE=EF

，
∴△EHF≌△ABE（AAS），
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCH=45°；

（2）如圖（2）作FH⊥MN于H．
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
結合（1）易得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射線CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
在△EFH和△AGD中

∠GDA=∠FHE ∠DAG=∠FEH AG=EF

，
∴△EFH≌△AGD（AAS），
∵∠BAE=∠FEH，∠ABE=∠FHE，
∴△EFH∽△AEB，
∴EH=AD=BC=n，∴CH=BE，
∴

EH

AB

=

FH

BE

=

FH

CH

，
∴在Rt△FEH中，tan∠FCN=

FH

CH

=

EH

AB

=

n

m

，
∴當點E沿射線CN運動時，tan∠FCN=

n

m

．

點評：此題主要考查了四邊形綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形和矩形的性質(zhì)等知識，注意數(shù)形結合得出全等三角形是解題關鍵．