Question

如圖，一艘貨輪由港口A出發(fā)向正東方向行駛，在港口A處時，測得燈塔B在港口A的南偏東30°方向，小島C在港口A的南偏東60°方向，當這艘貨輪行駛60海里到點D處時，小島C恰好在點D處的正南方向，此時測得燈塔B在南偏西60°的方向，求：
（1）港口A與小島C之間的距離；
（2）燈塔B與小島C之間的距離．

Answer 1

考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

專題：幾何圖形問題,轉(zhuǎn)化思想

分析：（1）在Rt△ADC中，根據(jù)三角函數(shù)即可得到港口A與小島C之間的距離，CD的長；
（2）過B點作BE∥AD，交AE于E，CD于F，根據(jù)題意可知，△ABD是直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)可求AB的長；在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)即可得到AE，BE的長，進一步得到BF，CF的長，根據(jù)勾股定理即可得到燈塔B與小島C之間的距離．

解答：解：（1）∵∠EAC=60°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，AC=60÷Cos30°=40

3

海里，CD=

1

2

AC=20

3

海里．
故港口A與小島C之間的距離是40

3

海里；

（2）過B點作BE∥AD，交AE于E，CD于F，
∵∠BAD=60°，
∴∠BDA=30°，
∴∠ABD=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∴AB=30海里；
在Rt△ABE中，AE=15

3

海里，BE=15海里，
∴BF=60-15=45海里，CF=20

3

-15

3

=5

3

海里，
在Rt△BCF中，BC=

452+(5 3 )2

=10

21

海里．
即燈塔B與小島C之間的距離是10

21

海里．

點評：考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，本題可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，使問題解決．