【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(m,0),與y軸交于C.

(1)若m=﹣3,求拋物線的解析式,并寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸;

(2)如圖1,在(1)的條件下,設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于D,在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)E,使SACE= SACD,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)如圖2,設(shè)F(﹣1,﹣4),F(xiàn)Gy于G,在線段OG上是否存在點(diǎn)P,使OBP=FPG?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為:y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4;對(duì)稱(chēng)軸是:直線x=﹣1;(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(﹣4,5)(3)當(dāng)﹣4≤m<0或m=3時(shí),在線段OG上存在點(diǎn)P,使OBP=FPG.

【解析】

試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,并配方求對(duì)稱(chēng)軸;(2)如圖1,設(shè)E(m,m2+2m﹣3),先根據(jù)已知條件求SACE=10,根據(jù)不規(guī)則三角形面積等于鉛直高度與水平寬度的積列式可求得m的值,并根據(jù)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)E,則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)小于﹣1,對(duì)m的值進(jìn)行取舍,得到E的坐標(biāo);

(3)分兩種情況:當(dāng)B在原點(diǎn)的左側(cè)時(shí),構(gòu)建輔助圓,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,只要滿(mǎn)足BPF=90°就可以構(gòu)成OBP=FPG,如圖2,求出圓E與y軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的m值,則可得取值范圍;當(dāng)B在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí),只有OBP是等腰直角三角形,FPG也是等腰直角三角形時(shí)滿(mǎn)足條件,直接計(jì)算即可.

試題解析:(1)當(dāng)m=﹣3時(shí),B(﹣3,0),

把A(1,0),B(﹣3,0)代入到拋物線y=x2+bx+c中得:,解得,

拋物線的解析式為:y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4;對(duì)稱(chēng)軸是:直線x=﹣1;

(2)如圖1,設(shè)E(m,m2+2m﹣3),

由題意得:AD=1+1=2,OC=3,

SACE=SACD=×ADOC=×2×3=10,

設(shè)直線AE的解析式為:y=kx+b,

把A(1,0)和E(m,m2+2m﹣3)代入得,

,解得:,

直線AE的解析式為:y=(m+3)x﹣m﹣3,F(0,﹣m﹣3),

C(0,﹣3),FC=﹣m﹣3+3=﹣m,SACE=FC(1﹣m)=10,

﹣m(1﹣m)=20,m2﹣m﹣20=0,

(m+4)(m﹣5)=0,

m1=﹣4,m2=5(舍),

E(﹣4,5);

(3)如圖2,當(dāng)B在原點(diǎn)的左側(cè)時(shí),連接BF,以BF為直徑作圓E,當(dāng)E與y軸相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為P,

∴∠BPF=90°,∴∠FPG+OPB=90°,∵∠OPB+OBP=90°,∴∠OBP=FPG,

連接EP,則EPOG,

BE=EF,EP是梯形的中位線,OP=PG=2,

FG=1,tanFPG=tanOBP=,

,m=﹣4,

當(dāng)﹣4≤m<0時(shí),在線段OG上存在點(diǎn)P,使OBP=FPG;

如圖3,當(dāng)B在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí),要想滿(mǎn)足OBP=FPG,

OBP=OPB=FPG,OB=OP,

∴△OBP是等腰直角三角形,FPG也是等腰直角三角形,

FG=PG=1,OB=OP=3,m=3,

綜上所述,當(dāng)﹣4≤m<0或m=3時(shí),在線段OG上存在點(diǎn)P,使OBP=FPG.

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