Question

【題目】在等邊三角形ABC中，D是邊AC上一點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，若BC=5，BD=4，有下列結(jié)論：①AE∥BC；②∠ADE=∠BDC；③△BDE是等邊三角形；④△ADE的周長是9．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)易證∠BAE=∠ABC，，即可得AE∥BC，①正確；證明△BDE是等邊三角形，可得 DE=BD=4，所以△AED的周長=AE+AD+DE=AC+BD=9，可得③④正確．根據(jù)已知條件無法證明②正確.

∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AC=BC=5.

∵△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，

∴∠BAE=∠C=60°，AE=CD.

∴∠BAE=∠ABC，

∴AE∥BC，所以①正確；

∵△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，

∴∠DBE=60°，BD=BE=4.

∴△BDE為等邊三角形，所以③正確.

∵∠BDC=∠BAC+∠ABD>60°，∠ADE+∠BDC=180°-∠BDE=120°，

∴∠ADE<∠BDC,∴②一定不正確；

∵AE=CD，DE=BD=4，

∴△ADE的周長=AD+AE+DE=AD+CD+DB=AC+BD=5+4=9，所以④正確．

故選C.