【題目】1)操作:如圖,在已知內(nèi)角度數(shù)的三個(gè)三角形中,請(qǐng)用直尺從某一頂點(diǎn)畫一條線段,把原三角形分割成兩個(gè)等腰三角形,并在圖中標(biāo)注相應(yīng)的角的度數(shù)

2)拓展,ABC中,AB=AC,∠A=45°,請(qǐng)把ABC分割成三個(gè)等腰三角形,并在圖中標(biāo)注相應(yīng)的角的度數(shù).

3)思考在如圖所示的三角形中∠A=30°.點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是邊ACBC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).分別連接BPPQABC分割成三個(gè)三角形.ABPBPQ,PQC若分割成的這三個(gè)三角形都是等腰三角形,求∠C的度數(shù)所有可能值直接寫出答案即可.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3)∠C所有可能的值為10°、20°、25°,35°40°、50°、80°、100°.

【解析】

1)在圖1、圖2、圖3中,分別作ABAB、BC的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及外角的性質(zhì)求出各角度數(shù)即可;(2)分別作ABBC的垂直平分線,交于點(diǎn)O,連接OA、OBOC可得三角形OABOAC、OBC為等腰三角形,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及外角性質(zhì)求出各角度數(shù)即可;(3)分PB=PA、AB=AP、BA=BP時(shí),PB=PQ、BP=BQ、QB=QPPQ=QC、PC=QC、PQ=PC10種情況,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠C的度數(shù)即可.

1)在圖1、圖2、圖3中,分別作AB、AB、BC的垂直平分線,

如圖1,∵∠ABC=23°,∠BAC=90°,

∴∠C=90°-23°=67°

MN垂直平分AB,

BD=AD

∴△ABD是等腰三角形,

∴∠BAD=ABC=23°,

∴∠ADC=2ABC=46°

∵∠BAC=90°,

∴∠DAC=BAC-BAD=67°,

∴∠DAC=C,

∴△DAC是等腰三角形,

同理:圖2中,∠ADC=46°,∠DAC=88°,∠C=46°,ABDACD是等腰三角形,

3中,∠BCD=23°,∠ADC=46°,∠ACD=46°,BCDACD是等腰三角形.

2)作AB、BC的垂直平分線,交于點(diǎn)O,連接OA、OBOC,

∵點(diǎn)O是三角形垂直平分線的交點(diǎn),

OA=OB=OC,

∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形,

AB=AC,∠BAC=45°,

∴∠ABC=ACB=67.5°,

ADBC的垂直平分線,

∴∠BAD=CAD=22.5°,

∴∠OBA=OAB=22.5°,∠OCA=OAC=22.5°

∴∠OBC=OCB=45°.

3)①如圖,當(dāng)PB=PAPB=PQ,PQ=CQ時(shí),

∵∠A=30°,PB=PQ,

∴∠ABP=A=30°

∴∠APB=120°,

PB=PQPQ=CQ,

∴∠PQB=PBQ,∠C=CPQ

∴∠PBQ=2C,

∴∠APB=PBQ+C=3C=120°,

解得:∠C=40°.

②如圖,當(dāng)PB=PA,PB=BQPQ=CQ時(shí),

∴∠PQB=2C,∠PQB=BPQ,

∴∠PBQ=180°-2PQB=180°-4C

180°-4C+C=120°,

解得:∠C=20°,

③如圖,當(dāng)PA=PB,BQ=PQ,CQ=CP時(shí),

∵∠PQC=2PBQ,∠PQC=180°-C),

∴∠PBQ=180°-C),

180°-C+C=120°

解得:∠C=100°.

④如圖,當(dāng)PA=PBBQ=PQ,PQ=CP時(shí),

∵∠PQC=C=2PBQ,

又∵∠C+PBQ=120°

∴∠C=80°;

⑤如圖,當(dāng)AB=AP,BP=BQ,PQ=QC時(shí),

∵∠A=30°,

∴∠APB=180°-30°=75°,

BP=BQ,PQ=CQ,

∴∠BPQ=BQP,∠QPC=QCP,

∴∠BQP=2C

∴∠PBQ=180°-4C,

∴∠C+180°-4C=75°,

解得:∠C=35°.

⑥如圖,當(dāng)AB=APBQ=PQ,PC=QC時(shí),

∴∠PQC=2PBC,∠PQC=180°-C),

∴∠PBC=180°-C),

180°-C+C=75°,

解得:∠C=40°.

⑦如圖,當(dāng)AB=AP,BQ=PQ,PC=QP時(shí),

∵∠C=PQC=2PBC,∠C+PQC=75°,

∴∠C=50°;

⑧當(dāng)AB=AP,BP=PQ,PQ=CQ時(shí),

AB=BP,∠A=30°,

∴∠ABP=APB=75°,

又∵∠PBQ=PQB=2C,

且有∠PBQ+C=180°-30°-75°=75°,

3C=75°,

∴∠C=25°;

⑨當(dāng)AB=BP,BP=PQ,PQ=CQ時(shí),

AB=BP,

∴∠BPA=A=30°,

∵∠PBQ=PQB=2C,

2C+C=30°,

解得:∠C=10°.

⑩當(dāng)AB=BP,BQ=PQ,PQ=CQ時(shí),

∴∠PQC=C=2PBQ,

C+C=30°,

解得:∠C=20°.

綜上所述:∠C所有可能的值為10°、20°、25°,35°、40°、50°80°、100°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,面積為4的正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)B、P都在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,過動(dòng)點(diǎn)P分別作軸x、y軸的平行線,交y軸、x軸于點(diǎn)D、E.設(shè)矩形PDOE與正方形OABC重疊部分圖形的面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求k的值;

(2)用含m的代數(shù)式表示CD的長(zhǎng);

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A. 1B. 2C. 3D. 4

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(1)如果把圖①中的△BCN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF,連接FM,如圖②,求證:△CMF≌△CMN;

(2)將△CED繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),則:

當(dāng)點(diǎn)M,N在AB上(不與點(diǎn)A,B重合)時(shí),線段AM,MN,NB之間有一個(gè)不變的關(guān)系式,請(qǐng)你寫出這個(gè)關(guān)系式并說明理由;

當(dāng)點(diǎn)M在AB上,點(diǎn)N在AB的延長(zhǎng)線上(如圖③)時(shí),①中的關(guān)系式是否仍然成立?

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