Question

【題目】如圖，在銳角三角形中，
（1）猜想 ， ， 之間的關(guān)系，并證明．
（2）猜想cosC與a，b，c之間的關(guān)系？并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解： = = ，

如圖，作AD⊥BC于點D，作BE⊥AC于點E，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴AD=ABsinB=ACsinC，即csinB=bsinC，

則 = ，

同理可得BE=csinA=asinC，即 = ，

∴ = =

（2）解：∵在Rt△ACD中，CD=ACcosC=bcosC，

∴BD=BC﹣CD=a﹣bcosC，

∵AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，

∴c2﹣（a﹣bcosC）2=b2﹣（bcosC）2，

整理得cosC=

【解析】（1）作AD⊥BC、作BE⊥AC，由AD=ABsinB=ACsinC，即csinB=bsinC得 = ，同理可得 = ，繼而可得 = = ；（2）由CD=ACcosC=bcosC知BD=BC﹣CD=a﹣bcosC，根據(jù)AB2﹣BD2=AC2﹣CD2得c2﹣（a﹣bcosC）2=b2﹣（bcosC）2 ， 整理得cosC= ．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解解直角三角形的相關(guān)知識，掌握解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．