Question

【題目】如圖，△ABC 中，BD、CE分別是AC、AB上的高，BD與CE交于點O．BE=CD

（1）問△ABC為等腰三角形嗎？為什么？

（2）問點O在∠A的平分線上嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由見解析；（2）點O在∠A的平分線上，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）先利用HL證明Rt△BCD與Rt△CBE全等，然后根據全等三角形對應角相等可得∠ABC=∠ACB，再根據等角對等邊的性質可得AB=AC，所以△ABC是等腰三角形；

（2）根據（1）中Rt△BCD≌Rt△CBE，然后利用全等三角形對應邊相等可得BD=CE，對應角相等可得∠BCE=∠CBD，然后利用等角對等邊可得BO=CO，相減可得OD=OE，再根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上即可證明．

解：（1）△ABC是等腰三角形．

理由如下：∵BD、CE是△ABC的高，

∴△BCD與△CBE是直角三角形，

在Rt△BCD與Rt△CBE中，，

∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

即△ABC是等腰三角形；

（2）點O在∠A的平分線上．

理由如下：∵Rt△BCD≌Rt△CBE，

∴BD=CE，∠BCE=∠CBD，

∴BO=CO，

∴BD﹣BO=CE﹣CO，

即OD=OE，

∵BD、CE是△ABC的高，

∴點O在∠A的平分線上（到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）．