Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=15cm，點(diǎn)O在中線CD上，設(shè)OC=xcm，當(dāng)半徑為3cm的⊙O與△ABC的邊相切時(shí)，x=2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$或6．

Answer 1

分析 先求出AB=10$\sqrt{3}$，∠BDC=∠BCD=60°∠ACD=30°，分三種情況，利用⊙O的切線的特點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，用三角函數(shù)求解即可．

解答 解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，AB=10$\sqrt{3}$，
∵CD為中線，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=5$\sqrt{3}$，
∴∠BDC=∠BCD=∠B=60°，∠ACD=∠A=30°，
∵半徑為3cm的⊙O，
∴OE=3，
①當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，
如圖1，

過點(diǎn)O做OE⊥AB于E，
在Rt△ODE中，∠BDC=60°，DE=3，
∴sin∠BDC=$\frac{OE}{OD}$，
∴OD=$\frac{OE}{sin∠BDC}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$；
∴x=OC=CD-OD=5$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$；
②當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，
如圖2，

過O作OE⊥BC，
在Rt△OCE中，∠BCD=60°，OE=3，
∴sin∠BCD=$\frac{OE}{OC}$，
∴OC=$\frac{OE}{sin∠BCD}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$cm；
∴x=OC=2$\sqrt{3}$；
③當(dāng)⊙O與AC相切時(shí)，
如圖3，

過O作OE⊥AC于E，
在Rt△OCE中，∠ACD=30°，OE=3，
∴sin∠ACD=$\frac{OE}{OC}$，
∴OC=$\frac{OE}{sin∠ACD}$=$\frac{3}{\frac{1}{2}}$=6，
∴x=OC=6．
故答案為2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$或6．

點(diǎn)評 此題是切線的性質(zhì)，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，斜邊的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是用圓的切線構(gòu)造直角三角形，借助三角函數(shù)來求解．