Question

12．如圖，直線y=-$\frac{3}{4}x+3$與x軸、y軸分別交于點A、B；點Q是以C（0，-1）為圓心、1為半徑的圓上一動點，過Q點的切線交線段AB于點P，則線段PQ的最小是$\frac{\sqrt{231}}{5}$．

Answer 1

分析 過點C作CP⊥直線AB與點P，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，此時PQ最小，連接CQ，利用角的正弦求出CP的值，再根據(jù)勾股定理即可求出PQ的長度．

解答 解：過點C作CP⊥直線AB于點P，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，此時PQ最小，連接CQ，如圖所示．
當(dāng)x=0時，y=3，
∴點B的坐標(biāo)為（0，3）；
當(dāng)y=0時，x=4，
∴點A的坐標(biāo)為（4，0）．
∴OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴sinB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{4}{5}$．
∵C（0，-1），
∴BC=3-（-1）=4，
∴CP=BC•sinB=$\frac{16}{5}$．
∵PQ為⊙C的切線，
∴在Rt△CQP中，CQ=1，∠CQP=90°，
∴PQ=$\sqrt{C{P}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\frac{\sqrt{231}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{231}}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是確定P、Q點的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，借助于切線的性質(zhì)尋找到PQ取最小值時點P、Q的位置是關(guān)鍵．