Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D是BC上一定點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)，以2cm/s的速度沿C→A→B方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從D出發(fā)，以1cm/s的速度沿D→B方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P出發(fā)5 s后，點(diǎn)Q才開始出發(fā)，且當(dāng)一個(gè)點(diǎn)達(dá)到B時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止．圖2是當(dāng)時(shí)△BPQ的面積S（cm2）與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）的函數(shù)圖象．

（1）CD = ， ；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，為何值時(shí)，使得△BPQ與△ABC為相似？

（3）運(yùn)動(dòng)過程中，求出當(dāng)△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1）2，10.8；（2）或6；（3）5或．

【解析】

試題（1）根據(jù)函數(shù)圖象得到當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，△BPQ的面積為18，利用三角形面積公式可計(jì)算出BD=6，則CD=2，當(dāng)t=5s時(shí)，AP=4，點(diǎn)Q在D點(diǎn)，作PH⊥BC于H，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=10，再證明△BPH∽△BAC，利用相似比計(jì)算出PH，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△PBQ，即a=S△PBQ；

（2）分類討論：當(dāng)3＜t≤5，點(diǎn)Q在D點(diǎn)，BP=16﹣2t，若PD⊥BC得到△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當(dāng)5＜t≤8，DQ=t﹣5，BQ=11﹣t，BP=16﹣2t，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；

（3）PB=16﹣2t，BQ=11﹣t，分類討論：當(dāng)BP=BQ，則16﹣2t=11﹣t，解方程得t=5；當(dāng)PB=PQ，作PM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得則BM=BQ=，再證明△BPM∽△BAC，利用相似比得t值．

試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，△BPQ的面積為18，∴6BD=18，解得BD=6，

∴CD=BC﹣BD=2，

當(dāng)t=5s時(shí)，AP=2×5﹣6=4，點(diǎn)Q在D點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上如圖①，作PH⊥BC于H，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=10，

∵PH∥AC，∴△BPH∽△BAC，∴PH：AC=BP：BA，即PH：6=(10－4)：10，解得PH=，

∴S△PBQ=，即；故答案為：2，；

（2）點(diǎn)P在邊AB上，

當(dāng)3＜t≤5，點(diǎn)Q在D點(diǎn)，BP=16﹣2t，

若PD⊥BC，△BPQ∽△BAC，∴BP：BA=BD：BC，即，解得；

當(dāng)5＜t≤8，DQ=t﹣5，則BQ=8﹣2﹣（t﹣5）=11﹣t，BP=16﹣2t，

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，△BPQ∽△BAC，如圖②，

∵△BPQ∽△BAC，∴BP：BA=BQ：BC，即，解得，不合題意舍去；

當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，△BPQ∽△BAC，如圖③，

∵△BPQ∽△BCA，∴BP：BC=BQ：BA，即，解得，

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，△BPQ與△ABC為相似；

（3）PB=16﹣2t，BQ=11﹣t，

當(dāng)BP=BQ，則16﹣2t=11﹣t，解得t=5；

當(dāng)PB=PQ，作PM⊥BC于M，如圖④，則BM=BQ=，

∵PM∥AC，∴△BPM∽△BAC，∴BP：BA=BM：BC，即，解得，

綜上所述，當(dāng)△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時(shí)t的值為5或．