【題目】如圖1,點為正邊上一點(不與點重合),點分別在邊上,且.

(1)求證:;

(2)設(shè)的面積為,的面積為,求(用含的式子表示);

(3)如圖2,若點邊的中點,求證: .

圖1 圖2

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)詳見解析.

【解析】

1)根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可判斷;
2)如圖2中,分別過E,FEGBCG,FHBCH,S1=BDEG=BDEG=aBEsin60°=aBE,S2=CDFH=bCF,可得S1S2=abBECF,由(1)得BDE∽△CFD,即BEFC=BDCD=ab,即可推出S1S2=a2b2;
3)想辦法證明DFE∽△CFD,推出,即DF2=EFFC;

1)證明:如圖1中,

BDE中,∠BDE+DEB+B=180°,又∠BDE+EDF+FDC=180°,
∴∠BDE+DEB+B=BDE+EDF+FDC
∵∠EDF=B,
∴∠DEB=FDC
又∠B=C,
∴△BDE∽△CFD

2)如圖2中,分別過E,FEGBCGFHBCH,

S1=BDEG=BDEG=aBEsin60°=aBE,S2=CDFH=bCF,
S1S2=abBECF
由(1)得BDE∽△CFD
,即BEFC=BDCD=ab,
S1S2=a2b2

3)由(1)得BDE∽△CFD
,
BD=CD
,
又∠EDF=C=60°,
∴△DFE∽△CFD
,即DF2=EFFC

練習冊系列答案
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