Question

9．已知矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，P為矩形ABCD邊上的一點(diǎn)，連接AP，若直線AP、BD交點(diǎn)為E，△PAB為等腰三角形，請(qǐng)你畫出圖形，直接寫出AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況：①當(dāng)P在BC上時(shí)；②當(dāng)P在CD上時(shí)，P為CD的中點(diǎn)；由矩形的性質(zhì)和勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

解答 解：分兩種情況：
①當(dāng)P在BC上時(shí)，如圖1所示
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABP=90°，AD=BC=4，AD∥BC，CD=AB=2，
∴△ADE∽△PBE，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AD}{PB}$，
∵△ABP是等腰三角形，
∴PB=AB=2，
∴$\frac{AE}{PE}$=2，
∴$\frac{AE}{AP}$=$\frac{2}{3}$，
由勾股定理得：AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$；
②當(dāng)P在CD上時(shí)，P為CD的中點(diǎn)，如圖2所示：
則PD=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴AP=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DPE，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{AB}{PD}$=2，
∴AE=2PE，
∴AE=$\frac{2}{3}$AP=$\frac{2\sqrt{17}}{3}$；
綜上所述，AE的長(zhǎng)為$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$或$\frac{2\sqrt{17}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、比例的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．