Question

16．如圖，把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D′CE′，如圖乙，這時AB與CD′相交于點O，D′E′與AB、CB分別相交于點F、G，連接AD′．
（1）求∠OFE′的度數(shù)；
（2）求線段AD′的長．

Answer 1

分析 （1）由∠BCE′=15°，∠E′=90°，易得∠CGE′=∠FGB=75°，可得∠OFE₁=∠B+∠FGB=45°+75°=120°；
（2）由∠OFE′=∠120°，得∠D′FO=60°，所以∠D′OF=90°，由AC=BC，AB=6cm，得OA=OB=OC=3cm，所以，OD′=CD′-OC=7-3=4cm，在Rt△AD′O中，AD′=$\sqrt{{OA}^{2}{+OD′}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5（cm）．

解答 解：（1）由題意可知∠BCE′=15°，∠E′=90°，
∵∠CGE′=∠FGB，
∴∠FGB=75°，
∵∠B=45°，
∴∠OFE′=∠B+∠FGB=45°+75°=120°；

（2）∵∠OFE′=120°，∠CD′E′=30°，
∴∠D′OF=90°，
∵AC=BC，AB=6cm，OC⊥AB，
∴OA=OB=3cm，
∵∠OAC=45°，
∴∠OCA=45°，
∴OC=OA=3cm，
∵CD′=7cm，
∴OD′=4cm，
在Rt△AD′O中，
AD′=$\sqrt{{OA}^{2}{+OD′}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5（cm）

點評 本題主要考查了勾股定理和旋轉的性質(zhì)，能熟練應用勾股定理，掌握旋轉前后的兩個圖形完全相等是解答此題的關鍵．