Question

【題目】如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．

（1）請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達(dá)式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（4）如圖2，若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形（3）若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）（4）當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）

【解析】

試題（1）由A點(diǎn)坐標(biāo)確定解析式中c值，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出a值，從而確定此解析式；（2）根據(jù)解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB，在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AC，然后利用勾股定理的逆定理驗(yàn)證△ABC是直角三角形；（3）滿足△ANC為等腰三角形的N點(diǎn)有四個(gè)，在x軸負(fù)半軸有兩點(diǎn)，滿足AN=AC，AC=NC，在x軸正半軸存在兩點(diǎn)，滿足AN=CN，AC=NC，然后先求出AC長(zhǎng)，利用等腰三角形兩腰相等，和勾股定理易求出N點(diǎn)橫坐標(biāo)，因?yàn)?/span>N在x軸上，所以縱坐標(biāo)是0，從而得到N點(diǎn)坐標(biāo)．（4）先找到自變量，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN=n+2，過M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，利用平行線分線段成比例定理和三角形相似把MD用n表示出來，這樣△AMN的面積就用△ABN的面積減去△BMN的面積，從而建立S與n的二次函數(shù)，討論n的取值及函數(shù)最大值，即可求出△AMN面積最大時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵A（0，4），∴c=4，，把點(diǎn)C坐標(biāo)（8，0）代入解析式，得：a=－，∴二次函數(shù)表達(dá)式為；（2）令y=0，則解得，x1=8，x2="-2" ，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），由已知可得，在Rt△AOB中，AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+ AC2=20+80=102=BC2，∴△ABC是直角三角形；（3）由勾股定理先求出AC，AC==，①在x軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=AN時(shí)，NO=CO=8，∴此時(shí)N（-8，0）；②在x軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=NC時(shí)，NC=AC=，∵CO=8，∴NO=-8，∴此時(shí)N（8-，0）；③在x軸正半軸，當(dāng)AN=CN時(shí)，設(shè)CN=x，則AN=x，ON=8-x，在Rt△AON中，＋=，解得：x=5，∴ON=3，∴此時(shí)N（3，0）；④在x軸正半軸當(dāng)AC=NC時(shí)，AC=NC=，∴ON=＋8，∴此時(shí)N（＋8，0）；綜上所述：滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)是（-8，0）、（8-，0）、（3，0）、（8+，0）；（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN=n+2，過M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，，∵M(jìn)N∥AC，∴，∴，∵OA=4，BC=10，BN=n+2，∴MD=（n+2），∵S△AMN= S△ABN- S△BMN=

=－+5，∵－<0，∴n=3時(shí)，S有最大值，∴當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．