Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上,∠AEF=90°，AE=EF，過點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為H，連接AC.

(1) 試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2) 求證：∠ACF=90°；

(3) 連接AF，過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)作圓，如圖2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的長.

圖1                          圖2

Answer 1

（1）BE=FH ；理由見解析

（2）證明見解析

（3）=2π

【解析】（1）BE=FH。理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形  ∴∠B=90°，∵FH⊥BC ， ∴∠FHE=90°，又∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠HEF=90°， 且∠BAE+∠AEB=90°，∴∠HEF=∠BAE ，∴ ∠AEB=∠EFH ，又∵AE=EF，∴△ABE≌△EHF（SAS），∴BE=FH；

(2)∵△ABE≌△EHF，∴BC=EH，BE=FH ， 又∵BE+EC=EC+CH，∴BE=CH，∴CH=FH，∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°，∵AC是正方形對角線，∴ ∠ACD=45°，∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°；

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形，△AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點(diǎn)上。設(shè)該中點(diǎn)為O。連結(jié)EO得∠AOE=90°

過E作EN⊥AC于點(diǎn)N，Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=，Rt△ENA中，EN =，又∵∠EAF=45°，∠CAF=∠CEF=15°（等弧對等角），∴∠EAC=30°，∴AE=，Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8， AE所在的圓O半徑為4，其所對的圓心角為∠AOE=90°，=2π·4·（90°÷360°）=2π.