Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P（x，y），我們把P’（y-1，-x-1）叫做點(diǎn)P的友好點(diǎn)，已知點(diǎn)A₁的友好點(diǎn)為A₂，點(diǎn)A₂的友好點(diǎn)為A₃，點(diǎn)A₃的友好點(diǎn)為A₄，…，這樣依次得到點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（-4，-1），點(diǎn)A₂₀₁₆的坐標(biāo)為（-2，3）；
（2）若A₂₀₁₆的坐標(biāo)為（-3，2），則設(shè)A₁（x，y），求x+y的值；
（3）設(shè)點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（a，b ），若A₁，A₂，A₃，…A_n，點(diǎn)A_n均在y軸左側(cè)，求a、b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）列出部分A_n點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律，依此規(guī)律即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）結(jié)論和A₂₀₁₆的坐標(biāo)為（-3，2），找出A₂₀₁₇的坐標(biāo)，由此即可得出x、y的值，二者相加即可得出結(jié)論；
（3）結(jié)合（1）的結(jié)論找出A₁，A₂，A₃，A₄的坐標(biāo)，令其橫坐標(biāo)均小于0，即可得出關(guān)于a和關(guān)于b的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A₁（2，1），A₂（0，-3），A₃（-4，-1），A₄（-2，3），A₅（2，1），…，
∴A_4n+1（2，1），A_4n+2（0，-3），A_4n+3（-4，-1），A_4n+4（-2，3）（n為自然數(shù)）．
∵2016=504×4，
∴點(diǎn)A₂₀₁₆的坐標(biāo)為（-2，3）．
故答案為：（-4，-1）；（-2，3）．
（2）∵A₂₀₁₆的坐標(biāo)為（-3，2），
∴A₂₀₁₇（1，2），A₁（1，2），
∴x+y=3．
（3）∵A₁（a，b），A₂（b-1，-a-1），A₃（-a-2，-b），A₄（-b-1，a+1），
∵A₁，A₂，A₃，…A_n，點(diǎn)A_n均在y軸左側(cè)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-a-2＜0}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{b-1＜0}\\{-b-1＜0}\end{array}\right.$，
解得：-2＜a＜0，-1＜b＜1．

點(diǎn)評 本題考查了規(guī)律型中的點(diǎn)的坐標(biāo)的變化，解題的關(guān)鍵是：（1）找出變化規(guī)律；（2）求出x、y值；（3）分別找出關(guān)于a、b的一元一次不等式組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)友好點(diǎn)的定義列出部分點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．