【題目】問題情境:
在綜合與實踐課上,老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學活動.如 圖 1,將:矩形紙片 ABCD 沿對角線 AC 剪開,得到△ABC 和△ACD.并且量得 AB =4cm,AC=8cm.
操作發(fā)現(xiàn):
(1)將圖 1 中的△ACD 以點 A 為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠α,使∠α=∠BAC,得到如圖 2 所示的△AC′D,過點 C 作 AC′的平行線,與 DC'的延長線 交于點 E,則四邊形 ACEC′的形狀是 .
(2)創(chuàng)新小組將圖 1 中的△ACD 以點 A 為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使 B、 A、D 三點在同一條直線上,得到如圖 3 所示的△AC′D,連接 CC',取 CC′的中 點 F,連接 AF 并延長至點 G,使 FG=AF,連接 CG、C′G,得到四邊形 ACGC′, 發(fā)現(xiàn)它是正方形,請你證明這個結(jié)論.
實踐探究:
(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎上,進行如下操作:將△ABC 沿著 BD 方向平移,使點 B 與點 A 重合,此時 A 點平移至 A'點,A'C 與 BC′相交于點 H, 如圖 4 所示,連接 CC′,試求 tan∠C′CH 的值.
【答案】(1)菱形;(2)見解析;(3)tan∠C′CH=.
【解析】
(1)根據(jù)可以得到,再結(jié)合可以得到,而已知可以得到四邊形為平行四邊形,由于旋轉(zhuǎn),所以,從而得到四邊形為菱形;
(2)根據(jù)可以得到四邊形為平行四邊形,而,所以四邊形為菱形,那么只需要再證明一個直角即可,當、、三點共線時:,而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),,可以得到:
,從而證到四邊形為正方形;
(3)結(jié)合第二問可以得到,所以要求,就可以分別求出和得長度,由題意可以得到,那么,結(jié)合三角函數(shù)分別就可以分別求出和;
(1)菱形,理由如下:
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:
,即
又
四邊形為平行四邊形
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:
四邊形為菱形;
(2)正方形,理由如下:
四邊形為平行四邊形
又
四邊形為菱形
當、、三點共線時:
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:
四邊形為正方形;
(3)在中,AB=4,AC=8,
由(2)結(jié)合平移知,
在中,
在中,;
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點P為拋物線yx2上一動點,以P為頂點,且經(jīng)過原點O的拋物線,記作“yp”,設其與x軸另一交點為A,點P的橫坐標為m.
(1)①當△OPA為直角三角形時,m= ;
②當△OPA為等邊三角形時,求此時“yp”的解析式;
(2)若P點的橫坐標分別為1,2,3,…n(n為正整數(shù))時,拋物線“yp”分別記作“”、“”…,“”,設其與x軸另外一交點分別為A1,A2,A3,…An,過P1,P2,P3,…Pn作x軸的垂線,垂足分別為H1,H2,H3,…Hn.
1)① Pn的坐標為 ;OAn= ;(用含n的代數(shù)式來表示)
②當PnHn﹣OAn=16時,求n的值.
2)是否存在這樣的An,使得∠OP4An=90°,若存在,求n的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新冠肺炎疫情在全球蔓延,造成了嚴重的人員傷亡和經(jīng)濟損失,其中一個原因是新冠肺炎病毒傳播速度非常快.一個人如果感染某種病毒,經(jīng)過了兩輪的傳播后被感染的總?cè)藬?shù)將達到64人.
(1)求這種病毒每輪傳播中一個人平均感染多少人?
(2)按照上面的傳播速度,如果傳播得不到控制,經(jīng)過三輪傳播后一共有多少人被感染?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點E,AD⊥BC于點D,∠BAD=45°,CD=,AD與BE交于點F,連接CF,則AD的長為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,點A在反比例函數(shù)y=的圖象上.若點B在反比例函數(shù)y=的圖象上,則k的值為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是一座現(xiàn)代化大型單塔雙面扇形斜拉橋,主橋采用獨塔雙面索斜拉設計,主橋樁呈“H”形,兩側(cè)用鋼絲繩斜拉固定.
問題提出:
如何測量主橋樁頂端至橋面的距離AD?
方案設計:
如圖,某數(shù)學課題研究小組通過調(diào)查研究和實地測量,在橋面B處測得∠ABC=26.57°,再沿BD方向走21米至C處,在C處測得∠ACD=30.96°.
問題解決:
根據(jù)上述方案和數(shù)據(jù),求銀灘黃河大橋主橋樁頂端至橋面的距離AD.
(結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù):sin26.57°≈0.447,cos26.57°≈0.894,tan26.57°≈0.500,sin30.96°≈0.514,cos30.96°≈0.858,tan30.96°≈0.600)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖,其中每個小正方形的邊長為1個單位長度.
(1)畫出△ABC關于原點O的中心對稱圖形△A1B1C1;
(2)畫出將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2.
(3)在(2)的條件下,求點A旋轉(zhuǎn)到點A2所經(jīng)過的路線長(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】P是等邊△ABC內(nèi)部一點,∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5:6:7,將△ABP逆時針旋轉(zhuǎn),使得AB與AC重合,則以PA、PB、PC的長為邊的三角形的三個角∠PCQ:∠QPC:∠PQC=________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2﹣ax+a﹣1與x軸交于A,B兩點(點B在正半軸上),與y軸交于點C,OA=3OB.點P在CA的延長線上,點Q在第二象限拋物線上,S△PBQ=S△ABQ.
(1)求拋物線的解析式.
(2)求直線BQ的解析式.
(3)若∠PAQ=∠APB,求點P的坐標.
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