Question

【題目】問題情境：

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如 圖 1，將：矩形紙片 ABCD 沿對角線 AC 剪開，得到△ABC 和△ACD．并且量得 AB ＝4cm，AC＝8cm．

操作發(fā)現(xiàn)：

（1）將圖 1 中的△ACD 以點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠α，使∠α＝∠BAC，得到如圖 2 所示的△AC′D，過點(diǎn) C 作 AC′的平行線，與 DC'的延長線 交于點(diǎn) E，則四邊形 ACEC′的形狀是 ．

（2）創(chuàng)新小組將圖 1 中的△ACD 以點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使 B、 A、D 三點(diǎn)在同一條直線上，得到如圖 3 所示的△AC′D，連接 CC'，取 CC′的中 點(diǎn) F，連接 AF 并延長至點(diǎn) G，使 FG＝AF，連接 CG、C′G，得到四邊形 ACGC′， 發(fā)現(xiàn)它是正方形，請你證明這個(gè)結(jié)論．

實(shí)踐探究：

（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，進(jìn)行如下操作：將△ABC 沿著 BD 方向平移，使點(diǎn) B 與點(diǎn) A 重合，此時(shí) A 點(diǎn)平移至 A'點(diǎn)，A'C 與 BC′相交于點(diǎn) H， 如圖 4 所示，連接 CC′，試求 tan∠C′CH 的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）見解析；（3）tan∠C′CH＝．

【解析】

（1）根據(jù)可以得到,再結(jié)合可以得到,而已知可以得到四邊形為平行四邊形，由于旋轉(zhuǎn)，所以,從而得到四邊形為菱形；

（2）根據(jù)可以得到四邊形為平行四邊形，而，所以四邊形為菱形,那么只需要再證明一個(gè)直角即可，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí):，而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，,可以得到：

,從而證到四邊形為正方形；

（3）結(jié)合第二問可以得到,所以要求，就可以分別求出和得長度，由題意可以得到,那么，結(jié)合三角函數(shù)分別就可以分別求出和；

（1）菱形，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：

，即

又

四邊形為平行四邊形

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：

四邊形為菱形；

（2）正方形，理由如下：

四邊形為平行四邊形

又

四邊形為菱形

當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí):

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：

四邊形為正方形；

（3）在中，AB＝4，AC＝8，

由（2）結(jié)合平移知，

在中，

在中，;