Question

【題目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F為BE的中點(diǎn)，連結(jié)DF，CF.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，請直接寫出此時線段DF，CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

(2)如圖②，在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45°，請你判斷此時(1)中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷．

(3)如圖③，在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，若AD＝1，AC＝2，求此時線段CF的長(直接寫出結(jié)果)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2)(1)中的結(jié)論仍然成立(3)

【解析】試題分析：（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據(jù)∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．

（2）延長DF交BC于點(diǎn)G，先證明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根據(jù)AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因?yàn)椤螦BC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．

（3）延長DF交BA于點(diǎn)H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=2，可以求出AB的值，進(jìn)而可以根據(jù)勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．

試題解析：(1)∵∠ACB=∠ADE=90°，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，

∴DF=BF=BE，CF=BE，∴DF=CF.

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.

∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.

∵∠DFE=∠DBF＋∠BDF，

∴∠DFE=2∠DBF.

同理，∠CFE=2∠CBF，

∴∠DFE＋∠CFE=2∠DBF＋2∠CBF=2∠ABC=90°，∴DF⊥CF.

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立．

證明：如解圖①，延長DF交BC于點(diǎn)G.

∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC.

∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF.

∵F為BE的中點(diǎn)，∴EF=BF.

∴△DEF≌△GBF(AAS)．∴DE=GB，DF=GF.

∵AD=DE，∴AD=GB.

∵AC=BC，∴AC－AD=BC－GB，

即DC=GC.

∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形．

∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF.

(3)如解圖②，延長DF交BA于點(diǎn)H.

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC=BC，AD=DE，

∠AED=∠ABC=45°.

由旋轉(zhuǎn)可知∠CAE=∠BAD=∠ACB=90°，

∴AE∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，∴∠DEF=∠HBF.

∵F是BE的中點(diǎn)，∴EF=BF.

又∵∠DFE=∠HFB，

∴△DEF≌△HBF(ASA)．∴ED=BH.

∵BC=AC=2，∠ACB=90°，∴AB=4.

∵BH=ED=AD=1，∴AH=3.

∵∠BAD=90°，∴DH=，

∴DF=

.∴CF=.