Question

【題目】問(wèn)題情境：（1）如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度數(shù). 小穎同學(xué)的解題思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，請(qǐng)你接著完成解答.

問(wèn)題遷移：

（2）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．試判斷∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？

（提示：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AD），請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你猜想∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）∠APC=110° ;（2）∠CPD=∠α+∠β , 理由見解析;（3）∠CPD=∠α-∠β 或 ∠CPD=∠β-∠α

【解析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；

（2）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）畫出圖形（分兩種情況①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（等量代換）

（2）∠CPD=∠α+∠β，

理由是：如圖3，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，

過(guò)P作PE∥AD交CD于E，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠β-∠α；

當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠α-∠β．