Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)⊙C上一點(diǎn)P作⊙C的切線l．當(dāng)入射光線照射在點(diǎn)P處時(shí)，產(chǎn)生反射，且滿足：反射光線與切線l的夾角和入射光線與切線l的夾角相等，點(diǎn)P稱為反射點(diǎn)．規(guī)定：光線不能“穿過(guò)”⊙C，即當(dāng)入射光線在⊙C外時(shí)，只在圓外進(jìn)行反射；當(dāng)入射光線在⊙C內(nèi)時(shí)，只在圓內(nèi)進(jìn)行反射．特別地，圓的切線不能作為入射光線和反射光線．
光線在⊙C外反射的示意圖如圖1所示，其中∠1=∠2．
（1）自⊙C內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的入射光線經(jīng)⊙C第一次反射后的示意圖如圖2所示，P₁是第1個(gè)反射點(diǎn)．請(qǐng)?jiān)趫D2中作出光線經(jīng)⊙C第二次反射后的反射光線；
（2）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，如圖3，
①第一象限內(nèi)的一條入射光線平行于x軸，且自⊙O的外部照射在其上點(diǎn)P處，此光線經(jīng)⊙O反射后，反射光線與y軸平行，則反射光線與切線l的夾角為45°；
②自點(diǎn)A（-1，0）出發(fā)的入射光線，在⊙O內(nèi)不斷地反射．若第1個(gè)反射點(diǎn)P₁在第二象限，且第12個(gè)反射點(diǎn)P₁₂與點(diǎn)A重合，則第1個(gè)反射點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}）$；
（3）如圖4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），⊙M的半徑為1．第一象限內(nèi)自點(diǎn)O出發(fā)的入射光線經(jīng)⊙M反射后，反射光線與坐標(biāo)軸無(wú)公共點(diǎn)，求反射點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）（2）兩個(gè)問(wèn)題，要根據(jù)題意，畫出圖象，可以解決．
（3）當(dāng)反射光線平行X軸時(shí)，反射光線與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，只要求出這樣的反射點(diǎn)，就可以解決這個(gè)問(wèn)題了．

解答 解：（1）答案如圖：

（2）①由題意：∠1=∠2，∠APB=90°，
∴∠1=45°，
∴反射光與切線的夾角為45°．
②由題意：這些反射點(diǎn)組成的多邊形是正十二邊形，
∴入射光線與反射光線夾角為150°，
∴∠AOP1=30°，∵OP1=1，
∴P1（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（3）如圖：當(dāng)反射光PA∥X軸時(shí)，反射光線與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)．
作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分別為M，N，設(shè)PD=m．
∵∠GPO=∠HPA，∠GPC=∠HPC=90°，
∴∠OPC=∠APC=∠PCO，∴OP=OC，
在RT△PON中，∵ON=PD=m，PN²=1-（2-m）²，
∴PO²=m²+1-（2-m）²，
∵PD∥OM，∵$\frac{PD}{OM}=\frac{CP}{CM}$，∴CP=$\frac{m}{2-m}$，
CD²=（$\frac{m}{2-m}$）²-m²，
∴OC=PN+CD，
OC²=（$\sqrt{1-（2-m）^{2}}$+$\sqrt{（\frac{m}{2-m}）^{2}-{m}^{2}}$）²，
由：PO²=OC²得到：（$\frac{m}{2-m}$）²-m²=（$\sqrt{1-（2-m）^{2}}$+$\sqrt{（\frac{m}{2-m}）^{2}-{m}^{2}}$）²，
∴m1=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，（m2=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，m3=4，不合題意舍棄），
∴根據(jù)左右對(duì)稱性得到：滿足條件的反射點(diǎn)P的縱坐標(biāo)：1$≤m＜2-\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 這是個(gè)幾何，代數(shù)綜合題．考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，用到數(shù)形結(jié)合的思想，要求作圖能力強(qiáng)，學(xué)會(huì)用方程的思想去思考．