【題目】已知的三邊長,,,,,都是整數(shù),且,的最大公約數(shù)為.點(diǎn)和點(diǎn)分別為的重心和內(nèi)心,且.則的周長為________.
【答案】
【解析】
延長GI分別交BC于點(diǎn)P,AC于點(diǎn)Q,首先證明△CPQ為等腰三角形,根據(jù)內(nèi)心和重心的知識(shí)分別表示出△PCQ的面積,進(jìn)而求出a,b,c之間的等量關(guān)系式,最后對a,b,c進(jìn)行討論,進(jìn)而求出a,b和c的值.
延長GI分別交BC于點(diǎn)P,AC于點(diǎn)Q,
∵∠GIC=90°,
∴GI⊥CI,I是內(nèi)心,
∴△CPQ為等腰三角形,
∴PC=QC,
∴S△PCQ=2S△CQI=r×CQ(r為三角形ABC內(nèi)切圓半徑)
∴S△PCQ=S△PGC+S△CGQ=PCha(ha為GE⊥BC的高)+CQhb(hb為GF⊥AC的高)=CQ(ha+hb)=r×CQ,
∴2r=ha+hb①,
∵r=②,
∵S△ABC=×aha'(ha'為AM⊥BC的高)=×aha,
∴ha=,hb=,
∴ha+hb=+③,
把②③代入①得,
當(dāng)a=2,b=2時(shí),c=2,
∵△ABC為等邊三角形,
∴GI重合,舍去,
∴a≠b,
設(shè)a>b,a=2m,b=2n,
∵a、b的最大公約數(shù)為2,
∴(m,n)=1,
∴m+n整除12,
即m=7,n=5,
∴a=14,b=10,c=11,
∴a+b+c=35.
故答案為:35
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)無人超市倉庫的貨物搬運(yùn)工作全部由機(jī)器人和機(jī)器人完成,工作記錄顯示機(jī)器人比機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)50件貨物.機(jī)器人搬運(yùn)2000件貨物與機(jī)器人搬運(yùn)1600件貨物所用的時(shí)間相等,則機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)貨物( )
A.250件B.200件C.150件D.100件
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是AC邊上動(dòng)點(diǎn),∠CBD=α,把△ABD沿BD對折,A對應(yīng)點(diǎn)為A'.
(1)①當(dāng)α=15°時(shí),∠CBA'= ;
②用α表示∠CBA'為 .
(2)如圖2,點(diǎn)P在BD延長線上,且∠1=∠2=α.
①當(dāng)0°<α<60°時(shí),試探究AP,BP,CP之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系,猜想并說明理由.
②BP=8,CP=n,則CA'= .(用含n的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,O為BC中點(diǎn),如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng),設(shè)AM的長為x,CN的長為y,且x、y滿足等式(a>0)
(1)求證:BM=AN;
(2)請你判斷△OMN的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)求證:當(dāng)OM∥AC時(shí),無論a取何正數(shù),△OMN與△ABC面積的比總是定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知:關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC為等腰三角形.若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)M到 達(dá)點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),問點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),△MNB面積最大,試求出最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,∠C=90°,將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α(0°<α<90°),使點(diǎn)A,D,E在同一直線上,連接AD,BE.
(1)①依題意補(bǔ)全圖2;
②求證:AD=BE,且AD⊥BE;
③作CM⊥DE,垂足為M,請用等式表示出線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖3,正方形ABCD邊長為, 若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=90°,請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,矩形在坐標(biāo)系中,、分別在軸、軸的正半軸上,,矩形周長為18,面積為18.
(1)求點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖2,、、分別在、、上,連、,若于,,設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求的長(用含的代數(shù)式表示);
(3)如圖3,在(2)的條件下,是中點(diǎn),連并延長至,連交于,若,,求的值.
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